| Описание Часть 1 |
Описание Часть 2 |
Условия задач |
Решения задач |
Как утверждается в ряде математических учебников, рациональное — значит разумное. На самом деле, такой перевод не совсем точный: латинское ratio — это не только «причина» или «смысл», но также «подсчет» и «дробь». Аналогично русское «Я считаю» или английское "I reckon" может означать как подсчет чисел, так и высказывание суждения.
Есть мнение о том, что слово ratio — это на самом деле калька с греческого λογος (логос), имеющего множество значений, включая «слово» (пролог — перед словом) и «смысл» (отсюда логика), а также подсчет или дробь (логарифм, «логос арифмос» – отношение чисел). Переводя греческие математические труды на латынь, переводчики не мудрствуя лукаво заменяли λογος словом “ratio”, которое в результате этого приобрело новый смысл,вытеснив исконное “proportio” (pro portio - в долю), так что в современном языке слово «пропорция» — это всего лишь равенство дробей. Аналогично в русском языке слово «тонкий», которое до начала XIX века использовалось только в применении к ширине, приобрело новый смысл (напр. «тонкий вкус») под влиянием французского fin.
1. Рациональное число, как обыкновенная дробь
Итак рациональные числа — это те и только те числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, причем $q \ne 0$. Число $p$ называется числителем (по-английски numerator), а число $q$ — знаменателем (denominator). Такая дробь называется обыкновенной дробью (англ. common (simple) fraction) в отличие от десятичной дроби, рассмотренной ниже.
Выходит, что десятичная дробь — необыкновенная?! Возможно, это объясняется тем, что согласно энциклопедии Britanica, десятичные дроби были изобретены в арабском мире, а в Европе (опять-таки согласно Britanica) распространились лишь в конце 16 века. Возможно, именно поэтому обыкновенные дроби считались более простыми (лат. fractus vulgaris), в отличие от непривычных в то время десятичных дробей. Кстати, в современной школе изучение дробей начинают именно с обыкновенных дробей, как более доступных для понимания, несмотря на то, что в обиходе десятичные дроби в настоящее время используются гораздо чаще.
Заметим, что представление рационального числа в виде обыкновенной дроби не является однозначным, так как значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить и разделить на одно и тоже целое число $m$, отличное от нуля: $$ \dfrac{pm}{qm} \equiv \dfrac{p}{q},\qquad\hbox{где }\; m \hbox{— целое и }\; m \ne 0. $$ Постараемся избавиться от неоднозначности.
Прежде всего заметим, что знаменатель дроби можно считать всегда положительным, так как в случае отрицательного знаменателя его можно сделать положительным, умножив числитель и знаменатель на -1.
Чтобы знаменатель сохранялся положительным, имеет смысл умножать или делить только на положительные целые (натуральные) числа. При этом множитель или делитель должен быть больше 1, так как умножение или деление на единицу не изменяет дробь. В случае умножения говорят о расширении дроби, а в случае деления (предполагается, что числитель и знаменатель кратны делителю) мы имеем дело с сокращением дроби.
Окончательный шаг для однозначности представления числа в виде обыкновенной дроби это условиться, что числитель и знаменатель — взаимно простые числа, то есть не содержат общих делителей, кроме единицы, таким образом дробь нельзя сократить. Про такую дробь так и говорят: несократимая дробь (англ. irreducible fraction). Любую обыкновенную дробь можно сделать несократимой, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.
Если в несократимой дроби знаменатель равен единице, то такую дробь будем отождествлять с целым числом: $$ \frac{p}{1} \equiv p. $$ Таким образом, множество целых является подмножеством множества рациональных чисел.
Множество рациональных чисел обозначается через $\mathbb{Q}$, что вовсе не является сокращением от английского "quotient" (частное), как утверждают многие публикации. На самом деле такое обозначение введено основателем аксиоматической теории чисел итальянским математиком Джузеппе Пеано (Guiseppe Peano), как сокращение итальянского «quoziente», обозначающего … угадайте что. Заметим, что, множество целых чисел обозначается буквой $\mathbb{Z}$ от немецкого „Zahlen” - «целое».
Операции сложения и умножения во множестве рациональных определяются, как $$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} \\ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} $$ (при этом дроби в правой части, возможно допускают сокращение). Отсюда обратные операции вычитания и деления определяются, как $$ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd} \\ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc} $$ (и снова дроби в правой части иногда могут быть сокращены). Легко проверить, что такие определения не противоречат операциям над целыми числами (т.е. при $b=d=1$), а кроме того обладают всеми свойствами соответствующих операций.
Отсюда в частности следует, что в отличие от множества целых чисел, во множестве $\mathbb{Q}$ деление всегда возможно, если, конечно, делитель отличен от нуля. Говорят что множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех арифметических операций: сложения, вычитания, умножения и деления на ненулевое число.
Из этого вытекает еще одно свойство множества $\mathbb{Q}$, существенно отличающее его от множества $\mathbb{Z}$, именуемое плотностью: между любыми рациональными числами можно найти еще одно рациональное число. Действительно, если $a$ и $b$ — рациональные числа и $a \lt b$, то средне-арифметическое $c=(a+b):2$ является рациональным числом, причем $a \lt c \lt b$ вследствие того, что $c-a = b-c = (b-a):2 \gt 0$. Далее можно найти рациональное число между $a$ и $c$ и повторять процесс бесконечное количество раз. Таким образом, между любыми рациональными числами находится бесконечное множество рациональных чисел.
Поскольку возведение в натуральную степень есть не что иное, как (многократное) умножение, натуральная степень рационального числа является рациональным числом, то есть множество рациональных чисел замкнуто относительно возведения в натуральную степень. Так как при $a \ne 0$, согласно определению, $a^0 = 1$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, то целая (не только положительная) степень рационального числа, отличного от нуля, есть число рациональное.
2. От обыкновенных дробей к десятичным и наоборот
Трудно представить себе человека, незнакомого с десятичными дробями (англ. decimal fraction), хотя далеко не все используют этот термин. В этом разделе мы рассмотрим перевод десятичных дробей в обыкновенные и обратно. Десятичную дробь, соответствующую заданной обыкновенной дроби будем для краткости называть десятичным представлением дроби (англ. decimal expansion).
Так как целая часть или знак числа при этом нас не интересуют (их можно просто приписать к числу, после того, как преобразование завершено), мы ограничимся рассмотрением неотрицательных чисел, меньших единицы. В применении к обыкновенным дробям это означает, что числитель меньше знаменателя. Такая дробь называется правильной дробью (англ. proper fraction). Кажется очевидным, что дробь является правильной тогда и только тогда, когда в ее десятичном представлении целая часть равна нулю. На самом деле, здесь необходима оговорка, о которой пойдет речь в 2.3.
2.1 Перевод обыкновенной дроби в десятичную
Для перевода обыкновенной дроби в десятичную мы делим «уголком» числитель на знаменатель до тех пор, пока возможно остаток окажется нулевым, в результате чего получим конечную десятичную дробь (англ. finite (terminating) decimal fraction).
Может случиться так, что нулевой остаток не появится. Утешением здесь является то, что остаток может принимать лишь положительные значения, меньшие знаменателя $q$, а таких чисел «всего лишь» $q-1$. Следовательно, не позже, чем на $q$-й десятичной цифре остаток повторится и в соответствии с алгоритмом деления «уголком», последующие десятичные цифры будут повторять предыдущие, начиная с той, которая соответствует повторенному остатку. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом (англ. repetend или period), а сама дробь— периодической десятичной дробью (англ. repeating (recurring) decimal fraction). Количество цифр, образующих период, именуют длиной периода. Для обозначения периода десятичной дроби мы будем использовать круглые скобки.
Известно, что периодическая функция на самом деле имеет бесконечное количество периодов, поскольку если $T$ — период функции, a $n$ — целое число, отличное от нуля, то $nТ$ — также период функции. Аналогичное имеет место в случае периодической дроби, например дробь $0,123123123...$ можно записать, как $0,(123)$, но можно как $0,(123123)$ или $0,(123123123)$. Поэтому, как правило, говоря о периоде десятичной дроби имеют в виду ее наименьший период, то есть период минимально возможной длины. Легко видеть, что длина любого периода дроби кратна длине ее наименьшего периода.
Другое существенное замечание состоит в том, что целое число или конечную дробь можно считать периодической с периодом $(0)$, например, $10=10,(0)$, $0,25=0,25(0)$. Когда следует исключить возможность периода $(0)$, употребляется термин бесконечная периодическая дробь (англ. infinite repeating (recurring) fraction).
Примеры: $$ \begin{array}{rll} \underline{3}\phantom{0}|\phantom{,}8\,\phantom{075} & \qquad & \underline{\mathbf{1}}\phantom{0}|\phantom{,}11\phantom{1} & \qquad & \underline{11}\phantom{0}\,|\phantom{,}75\phantom{1}\\[-3pt] \;30|\overline{0,375} & & \underline{10}\,|\overline{0,\underline{09}} & & 110\,|\overline{0,14\underline{6}} \\[-3pt] \;\underline{24}\phantom{|0,375} & & 100 \phantom{0,9} & & \phantom{1}\underline{75}\phantom{0|0,14} \\[-3pt] \phantom{3}60\phantom{|,375} & & \phantom{1}\underline{99} \phantom{,09} & & \phantom{1}350\phantom{|0,14} \\[-3pt] \phantom{3}\;\underline{56}\phantom{|,375} & & \phantom{19}\mathbf{1} \phantom{,09} & & \phantom{1}\underline{300}\phantom{|0,14} \\[-3pt] \phantom{35}40\phantom{|,75} & & & & \phantom{13}\mathbf{50}0\phantom{|0,1} \\[-3pt] \phantom{35}\;\underline{40}\phantom{|,75} & & & & \phantom{13}\underline{450}\phantom{|0,1} \\[-3pt] \phantom{354}0\phantom{|,75} & & & & \phantom{134}\mathbf{50}\phantom{|0,1} \\[-3pt] \end{array} $$
В приведенных примерах $\frac{3}{8}=0,375$ (конечная дробь), $\frac{1}{11}=0,(09)$, $\frac{11}{75}=0,14(6)$. Как видим, период десятичного представления дроби $\frac{1}{11}$ начинается сразу после десятичной запятой, тогда как для $\frac{11}{75}$ период соответствующей десятичной дроби наступает не сразу, а после двух десятичных знаков. Дробная часть, предшествующая периоду, называется предпериодом.
А нельзя ли, глядя на обыкновенную дробь, сразу сказать, является соответствующая ей десятичная дробь конечной, «чисто-периодической», или обладает предпериодом? Прежде чем дать ответ на эти и другие вопросы, научимся обратному процессу: переводу десятичной дроби в обыкновенную.
2.2 Перевод конечной десятичной дроби в обыкновенную
В случае конечной десятичной дроби все элементарно. Ведь $0,375$ — это всего лишь компактный способ записи $\frac{375}{1000}$. Осталось только сократить дробь, в данном случае на $125$ чтобы прийти к исходной дроби $\frac{3}{8}$.
В общем случае для конечной дроби $\overline{0,a_1a_2 \dots a_n}$ (верхняя черта указывает, что имеется в виду не умножение, а выписаны цифры числа) имеем: $$ \overline{0,a_1a_2 \dots a_n} = \frac{\overline{a_1a_2 \dots a_n}}{10^n} \label{eq:2.2.1}\tag{2.2.1} $$ или $$ \overline{0,a_1a_2 \dots a_n} = \frac{\overline{a_1a_2 \dots a_n}}{1\underbrace{0 \dots 0}_{n\;\text{нулей}}} \label{eq:2.2.2}\tag{2.2.2} $$
Если взглянуть на $\eqref{eq:2.2.2}$ формально, можно сделать вывод, что количество нулей в знаменателе (до сокращения дроби) всегда совпадает с разрядностью числителя. Однако мы знаем, что на самом деле это не так. Если дробная часть начинается с нулей, эти нули учитываются в знаменателе, тогда как записывать их в числителе не имеет смысла, например: $0,005 = \frac{5}{1000} = \frac{1}{200}$.
Разложив знаменатель на простые множители, получим $10^n=2^n\cdot5^n$. В результате сокращения дроби, степени двоек и/или пятерок могут лишь понизиться, но новые простые множители никак не появятся. Это значит, что для того, чтобы несократимой дроби $\frac{p}{q}$ соответствовала конечная десятичная дробь необходимо, чтобы ее знаменатель не имел множителей, отличных от $2$ и $5$.
Заметим, что это условие является также достаточным. В самом деле, пусть знаменатель обыкновенной дроби равен $2^{m_1}\cdot 5^{m_2}$ и $m$ – наибольшее из $m_1$, $m_2$. Расширив дробь на $2^{m-m_1} \cdot 5^{m-m_2}$, получаем обыкновенную дробь с знаменателем $10^m$, которую можно записать в виде конечной десятичной дроби c $m$ знаками после запятой. Например, в случае $\frac{3}{8}$ вместо того, чтобы делить «уголком», можно рассуждать так: знаменатель $8 = 2^3 \cdot 5^0$, значит в данном случае $m=3$. Умножаем на $2^{3-3} \cdot 5^{3-0} = 5^3 = 125$ и получаем $\frac{375}{1000}$ или $0,375$. Другой пример: $\frac{7}{40}$. Так как $40=2^3 \cdot 5$, дробь следует расширить на $5^2=25$. Получаем $\frac{175}{1000}$ или $0,175$.
Вывод: Несократимая обыкновенная дробь обращается в конечную десятичную дробь тогда и только тогда, когда ее знаменатель не содержит простых множителей кроме 2 и 5.
2.3 Перевод бесконечной «чисто-периодической» десятичной дроби в обыкновенную
Обратимся теперь к бесконечной «чисто-периодической» дроби», то есть десятичной дроби, период которой отличен от $(0)$ и начинается сразу после десятичной запятой. Этот случай не столь очевиден и требует небольшой хитрости.
Пусть $n$ — длина периода. Тогда дробь имеет вид: $$ P = \overline{0,\,a_1a_2\dots a_n\,a_1a_2 \dots a_n \dots} \label{eq:2.3.1}\tag{2.3.1} $$
И что же дальше?.. Умножим на $10^n$! Это все равно, что передвинуть запятую на n знаков вправо. Получим: $$ 10^nP = \overline{a_1a_2\dots a_n,\,a_1a_2\dots a_n\,a_1a_2 \dots a_n \dots} \label{eq:2.3.2}\tag{2.3.2} $$
Теперь смысл затеи становится понятным: если вычесть $\eqref{eq:2.3.1}$ из $\eqref{eq:2.3.2}$, дробная часть взаимно уничтожится и останется: $$ (10^n-1)P = \overline{a_1a_2\dots a_n} $$ откуда $$ P = \frac{\overline{a_1a_2\dots a_n}}{10^n-1} \label{eq:2.3.3}\tag{2.3.3} $$
Осталось заметить, что $10^n-1$ — это не что иное, как число, записанное $n$ девятками, так что окончательно получаем: $$ P = \frac{\overline{a_1a_2\dots a_n}}{\underbrace{9 \dots 9}_{n\;\text{девяток}}} \label{eq:2.3.4}\tag{2.3.4} $$
Вывод: Если период десятичной дроби начинается сразу после запятой, ее можно перевести в обыкновенную, записав период в числителе, а в знаменателе число составленное из девяток, количество которых равно длине периода.
Заметим, что, аналогично случаю конечной дроби, разрядность числителя может быть меньше разрядности знаменателя. Происходит это, конечно, в том случае, когда период начинается с нуля.
Примеры: $0,(123)=\frac{123}{999}=\frac{41}{333}$; $0,(09)=\frac{9}{99}=\frac{1}{11}$; $0,(009)=\frac{9}{999}=\frac{1}{111}$; $0,(9)=\frac{9}{9}=1$ ???
Последний пример может вызвать чувство недоумения. Оказывается, всякое целое число или (как будет показано несколько позже) конечную десятичную дробь можно представить в виде десятичной дроби двумя способами, например $5=5,0$, но также $5=4,(9)$, аналогично $0,123=0.123(0)$ или $0,122(9)$. Этот факт допускает довольно простое объяснение: бесконечную периодическую дробь $0.999\dots$ можно интерпретировать, как бесконечную сумму $$ S = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \dots + \frac{9}{10^n} + \dots, $$ члены которой составляют геометрическую прогрессию. Применяя формулу суммы членов бесконечно-убывающей геометрической прогрессии, получаем $S = \dfrac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}} = 1$, таким образом, $0.(9)$ на самом деле является неправильной дробью, хотя содержит 0 в целой части.
Однако, если поставить десятичные дроби с периодом $(9)$ «вне закона», всё становится на свои места: так как в периоде обязательно присутствует цифра, отличная от 9, числитель в правой части $\eqref{eq:2.3.4}$ оказывается меньше знаменателя, так что дробь действительно правильная. При этом соответствие между обыкновенными и периодическими десятичными дробями является взаимно однозначным: всякой обыкновенной дроби соответствует единственная конечная или периодическая десятичная дробь и наоборот.
Приглядимся к $\eqref{eq:2.3.4}$. Мы знаем, что для делимости на 2 число должно оканчиваться четной цифрой, а делимости на 5 оно должно оканчиваться на 0 или 5. В данном случае знаменатель оканчивается на 9, поэтому не может делиться ни 2 ни на 5, а после сокращения дроби он тем более не будет делиться. Выходит, что для того, чтобы обыкновенная дробь обращалась в бесконечную «чисто периодическую» дробь, необходимо чтобы знаменатель не делился ни на 2 ни на 5, другими словами знаменатель должен быть взаимно простым с числом 10.
Является ли это условие достаточным? Рассмотрим правильную несократимую дробь $\frac{p}{q}$, знаменатель которой не имеет общих делителей с числом 10. Если мы докажем существование числа из одних девяток, кратного $q$, это будет означать, что $\frac{p}{q}$ можно расширить до правильной дроби с одними девятками в знаменателе; в таком случае ее числитель (при необходимости с приписанными впереди нулями) станет периодом «чисто-периодической» дроби.
Проще всего доказать этот факт, опираясь на принцип Дирихле (называемый также «принципом ящиков»). Различные приложения и задачи связанные с принципом Дирихле (в том числе очень похожие на данную) рассмотрены в публикации этого блога «Разложим по полочкам». Дополним этот список еще одним приложением.
Рассмотрим все числа, составленные из одних девяток: $c_i = \underbrace{9..9}_{i\;\text{девяток}}$. Если среди них найдется число, кратное $q$, утверждение доказано.
Допустим, что среди $\{c_i\}$ нет кратных $q$. Поскольку возможно лишь $q-1$ различных остатков от деления на $q$, найдутся два числа $c_i$ и $c_j$ ($i \gt j$), дающие при делении на $q$ одинаковые остатки, так что $c_i-c_j$ делится на $q$. С другой стороны $$ c_i - c_j = \underbrace{9..9}_{i} - \underbrace{9..9}_{j} = \underbrace{9..9}_{i-j}\underbrace{0..0}_{j} = \underbrace{9..9}_{i-j} \cdot 10^j $$
Так как $q$ не делится ни на 2, ни на 5, числа $q$ и $10^j$ являются взаимно простыми. В таком случае, поскольку $c_i-c_j$ делится на $q$, число $\underbrace{9..9}_{i-j}$, составленное из одних девяток, обязано делиться на $q$.
Таким образом доказано, что бесконечная «чисто-периодическая» дробь является антиподом конечной десятичной дроби: Несократимая дробь обращается в бесконечную периодическую дробь с периодом, начинающимся сразу после десятичной запятой тогда и только тогда, когда ее знаменатель больше единицы и взаимно прост с 10, то есть не делится ни на 2, ни на 5.
2.4 Перевод в обыкновенную бесконечной десятичной дроби с предпериодом
Наконец, рассмотрим последний случай, когда периоду предшествует $k$ цифр после запятой, причем $k \gt 0$. Сразу оговоримся, что нас интересуют «истинные» дроби такого вида, потому что, например, дробь $0,01(001)$ на первый взгляд обладает предпериодом, тогда как на самом деле она является «чисто-периодической»: $0,(010)$.
Итак, пусть $$ P = \overline{0,b_1b_2 \dots b_k(a_1a_2 \dots a_n)} $$
В этом случае для исключения периода надо сначала умножить сначала на $10^k$, затем на $10^{k+n}$ и из второго равенства вычесть первое. Таким образом: $$ 10^kP = \overline{b_1b_2 \dots b_k,(a_1a_2 \dots a_n)} \\ 10^{k+n}P = \overline{b_1b_2 \dots b_k\,a_1a_2 \dots a_n,(a_1a_2 \dots a_n)} $$ $$ 10^k(10^n-1)P = \overline{b_1b_2 \dots b_k\,a_1a_2 \dots a_n}\; -\; \overline{b_1b_2 \dots b_k} $$
Окончательно $$ P = \frac{\overline{b_1b_2 \dots b_k\,a_1a_2 \dots a_n}\; - \;\overline{b_1b_2 \dots b_k}}{10^k(10^n-1)} \label{eq:2.4.1}\tag{2.4.1} $$ или $$ P = \frac{\overline{b_1b_2 \dots b_k\,a_1a_2 \dots a_n}\; - \; \overline{b_1b_2 \dots b_k}}{\underbrace{9 \dots 9}_{n}\underbrace{0 \dots 0}_{k}} \label{eq:2.4.2}\tag{2.4.2} $$
Таким образом метод несколько сложнее, чем в предыдущих случаях. Чтобы обратить в обыкновенную дробь бесконечную десятичную дробь с предпериодом частью следует дописать период к предпериоду, вычесть из полученного числа предпериод и результат записать в числитель, тогда как в знаменатель поместить число составленное из девяток и нулей, количество которых равно длине соответственно периода и предпериода.
Примеры: $0,14(6) = \dfrac{146-14}{900} = \dfrac{11}{75}$; $0,03(009) = \dfrac{3009-3}{99900} = \dfrac{167}{5550}$; $0,11(9) = \dfrac{119-11}{900} = \dfrac{3}{25}$. На этот раз проделка периода (9) могла остаться без внимания, однако внимательные читатели конечно заметили, что в действительности $\frac{3}{25}$ – это $0,12$. Впрочем, мы уже знаем, что период (9) не следует воспринимать всерьез.
В каких случаях обыкновенная дробь обращается в бесконечную периодическую с предпериодом? Очевидно тогда и только тогда, когда она не является ни конечной, ни «чисто-периодической». Таким образом приходим к следующему выводу:
Несократимая обыкновенная дробь обращается в бесконечную десятичную дробь с предпериодом тогда и только тогда, когда ее знаменатель делится на 2 и/или 5, а также на простое число, отличное от 2 и 5.
Действительно, знаменатель в $\eqref{eq:2.4.2}$ делится как на 9 (следовательно на 3), так и на 10 (то есть на 2 и 5). Правда, после сокращения, некоторые множители могут уйти. Однако если знаменатель перестал делиться на 2 или 5, или наоборот, из простых множителей знаменателя остались только двойки и/или пятерки, значит где-то явно кроется ошибка.
2.5 Обобщение
Из вышесказанного можно следует: Любую (конечную или бесконечную) периодическую дробь можно записать в виде обыкновенной дроби, и наоборот, любая обыкновенная дробь представима в виде конечной или бесконечной периодической дроби. Такое соответствие является взаимно однозначным, если не рассматривать десятичные дроби с периодом (9).
Другими словами: Всякое рациональное число представимо в виде периодической десятичной дроби и наоборот, всякая периодическая десятичная дробь соответствует рациональному числу.
3. Отвлечемся от десятичной системы.
Как было замечено, простые числа 2 и 5 играют особую роль при обращении обыкновенной дроби в десятичную. Нетрудно доказаться, что происходит это потому, что число 10 является основанием нашей родной системы счисления. Ведь не случайно, не только система счисления, но и сами дроби называются десятичными.
В этом разделе мы будем рассматривать аналог десятичных дробей в недесятичной системе счисления. Поскольку термин «десятичная дробь» здесь не подходит, используются слова «двоичная дробь», «троичная дробь» и т.д. Общий термин для таких дробей (если он существует) автору не известен, поэтому будем говорить «позиционная дробь» (поскольку значение разряда определяется его позицией в дроби), или «m-ичная» дробь.
Все формулы предыдущего раздела, применимы к позиционным дробям в другой системе счисления, если, конечно заменить основание 10 произвольным целым основанием $m \gt 1$.
Вот как выглядят обобщенные формулы перевода позиционных дробей в обыкновенные: $$ \begin{array}{c} \overline{0,a_1a_2 \dots a_n} = \frac{\overline{a_1a_2 \dots a_n}}{m^n} \\ \overline{0,(a_1a_2\dots a_n)} = \frac{\overline{a_1a_2\dots a_n}}{m^n-1} \\ \overline{0,b_1b_2 \dots b_k(a_1a_2 \dots a_n)} = \frac{\overline{b_1b_2 \dots b_k\,a_1a_2 \dots a_n}\; - \;\overline{b_1b_2 \dots b_k}}{m^k(m^n-1)} \end{array} $$
Применяя рассуждения, аналогичные приведенным в предыдущем разделе, к полученным обобщенным формулам, приходим к следующим выводам:
Несократимая дробь выражается конечной m-ичной дробью тогда и только тогда когда разложение знаменателя на простые дроби содержит только множители основания $m$
Несократимая дробь выражается бесконечной m-ичной дробью без предпериода тогда и только тогда когда знаменатель больше единицы и взаимно прост с основанием $m$, то есть разложение знаменателя на простые дроби не содержит множителей $m$
Несократимая дробь выражается бесконечной периодической m-ичной дробью с предпериодом тогда и только тогда когда разложение знаменателя на простые дроби содержит как множитель основания $m$, так и множитель взаимно простой с $m$
Глядя на это, приходится пожалеть, что основанием системы счисления было выбрано число 10, а не 12. Дело в том, что число 12 имеет гораздо больше делителей, чем число 10. Перейдя к основанию 12, мы «теряем» $\frac{1}{5}$, однако $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$ по-прежнему выражаются конечными позиционными (12-ичными) дробями, а кроме того, конечными двенадцатеричными дробями представлены $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{9}$.
Кстати, двенадцатеричная система действительно использовалась древними цивилизациями и нашла отражение в современном мире. Достаточно вспомнить о словах «дюжина» и «гросс» (последнее означает дюжину дюжин: $12^2=144$ и до сих пор, хотя и довольно редко, используется в английской культуре) или о 24 часах в сутках. Так называемая имперская система мер, используемая в США и (хотя не вполне официально) в других англоязычных государствах, ведущая начало в древнем Риме, буквально пронизана двенадцатеричной системой счисления.
Переведем, например, $\frac{1}{9}$ в 12-ичную дробь. Поскольку $9=3^2$, причем число 3 является делителем основания, такая дробь является конечной. Надо только расширить ее таким образом, чтобы знаменатель стал степенью 12. Понятно, что для этого следует умножить числитель и знаменатель на $4^2=16_{10}$. В привычной нам десятичной записи это выглядит так: $\frac{1}{9}=\frac{16}{144}_{10}$. В двенадцатеричном виде полученная дробь записывается, как $\frac{14}{100}_{12}$ или $0,14_{12}$.
Несколько сложнее обстоит дело с переводом $\frac{1}{5}$ в двенадцатеричную дробь, которая, поскольку 5 и 12 — взаимно простые числа, является бесконечной «число-периодической». Можно попытаться найти число вида $12^k-1$, кратное 5. Ранее было доказано, что такое число существует, но не дан способ нахождения числа. Ответ на это дает малая теорема Ферма и ее обобщение теорема Эйлера (англ Euler's totient theorem) Но об этом чуть позже, а пока будем … делить «углом», не забывая, что это происходит в двенадцатеричной системе счисления, где таблица умножения «чуть-чуть» отличается. При этом используются дополнительные 12-ичные цифры: $T=10_{10}$, $E=11_{10}$ (от английских слов Ten и Eleven):
$$ \begin{array}{rll} \underline{\mathbf{1}}\phantom{0}|\phantom{,}5\,\phantom{0297} \\[-3pt] 10\,|\overline{0,2497} \\[-3pt] \;\phantom{1}\underline{T}\,\phantom{|0,2497} \\[-3pt] \phantom{1}20\;\phantom{|,2497} \\[-3pt] \phantom{1}\underline{18}\;\phantom{|,2497} \\[-3pt] \phantom{12}40\;\,\phantom{|,249}\\[-3pt] \phantom{12}\underline{39}\;\phantom{|,249}\\[-3pt] \phantom{124}30\;\,\phantom{|,24} \\[-3pt] \phantom{124}\underline{2E}\;\phantom{|,24} \\[-3pt] \phantom{1243}\mathbf{1}\;\,\phantom{|,24} \\[-3pt] \end{array} $$Таким образом, $\frac{1}{5}=0,(2497)_{12}$.
Хотелось бы найти кого-то, кто не испытывал при этом определенный дискомфорт. Даже если такие найдутся, все равно не поверю! Ведь мы настолько привыкли к десятичной системе счисления, что выполнять операции в непривычной системе для нас все равно что оказаться на другой планете.
К счастью, существует очень простой способ, позволяющий все вычисления можно производить в десятичной системе. Умножаем дробь на $m$, целую часть результата используем в качестве очередной цифры m-ичной дроби, а дробную часть снова умножаем на $m$. Продолжаем действие до тех пор, пока либо в очередной раз дробная часть окажется нулевой, тогда m-ичная дробь конечна, либо дробная часть совпадет с одной из предыдущих, в таком случае дробь является бесконечной периодической. Осталось заметить, что так как числитель правильной дроби меньше знаменателя, количество возможных дробей ограничено, поэтому повторение обязательно наступит.
Снова рассмотрим перевод $\frac{1}{5}$ в двенадцатеричную систему счисления, на этот раз с применением «новой технологии». Для удобства запишем $\frac{1}{5}$ в виде десятичной дроби: $0,2$. Вот что получается: $$ \begin{matrix} \text{Умножение} & \text{Целая часть} & \text{Дробная часть} \\ \mathbf{0,2} \cdot 12 = 2,4 & 2 & 0,4 \\ 0,4 \cdot 12 = 4,8 & 4 & 0,8 \\ 0,8 \cdot 12 = 9,6 & 9 & 0,6 \\ 0,6 \cdot 12 = 7,2 & 7 & \mathbf{0,2} \end{matrix} $$
После 4-го шага дробная часть 0.2 совпала с первоначальной. Это значит, что все дальнейшие цифры будут повторяться. Столбик «Целая часть» дает результат: $\frac{1}{5} = 0,(2497)_{12}$.
А если дробь нельзя представить в виде конечной десятичной? Придется оперировать обыкновенными дробями. Вот пример перевода в двенадцатеричную систему дроби $\frac{1}{7}$: $$ \begin{matrix} \text{Умножение} & \text{Целая часть} & \text{Дробная часть} \\ \mathbf{\frac{1}{7}} \cdot 12 = \frac{12}{7} & 1 & \frac{5}{7} \\ \frac{5}{7} \cdot 12 = \frac{60}{7} & 8 & \frac{4}{7} \\ \frac{4}{7} \cdot 12 = \frac{48}{7} & 6 & \frac{6}{7} \\ \frac{6}{7} \cdot 12 = \frac{72}{7} & 10(Т) & \frac{2}{7} \\ \frac{2}{7} \cdot 12 = \frac{24}{7} & 3 & \frac{3}{7} \\ \frac{3}{7} \cdot 12 = \frac{36}{7} & 5 & \mathbf{\frac{1}{7}} \\ \end{matrix} $$ Результат: $\frac{1}{7}$ = 0,(186T35)12
Наконец, продемонстрируем обратный перевод числа $0,(2497)_{12}$ в обыкновенную дробь. Для этого согласно 12-ичному аналогу $\eqref{eq:2.3.3}$, надо записать $2497_{12}$ в числителе, а в знаменателе $12^4-1$ или $ЕЕЕЕ_{12}$. После этого проще всего перевести числитель и знаменатель в десятичную систему счисления, и сделать при необходимости сокращение. Получим: $$ 0,(2497)_{12} = \frac{2497_{12}}{EEEE_{12}} = \frac{4147}{20735} = \frac{1}{5} $$
Тем, кому совсем не хочется заниматься переводом из одной системы счисления в другую либо производить операции в другой системе счисления, предложу альтернативный метод, который однако не проще упомянутого. Для этого заметим, что первому m-ичному разряду соответствует «вес» $\frac{1}{m}$, второму $\frac{1}{m^2}$ и так далее.
В случае конечной дроби, например упомянутой $0,14_{12}$ поступаем так: $$ 0,14_{12} = \frac{1}{12} + \frac{4}{12^2} = \frac{1}{12} + \frac{1}{36} = \frac{1}{9} $$
А как же быть с бесконечной периодической дробью? Попробуем: $$ \begin{array}{l} 0,(2497)_{12} = \frac{2}{12} + \frac{4}{12^2} + \frac{9}{12^3} + \frac{7}{12^4} + \frac{2}{12^5} + \frac{4}{12^6} + \frac{9}{12^7} + \frac{7}{12^8} + \dots \\ \quad = \left(\frac{2}{12} + \frac{4}{12^2} + \frac{9}{12^3} + \frac{7}{12^4}\right) + \frac{1}{12^4}\left(\frac{2}{12} + \frac{4}{12^2} + \frac{9}{12^3} + \frac{7}{12^4}\right) + \dots \\ \quad = \left(\frac{2}{12} + \frac{4}{12^2} + \frac{9}{12^3} + \frac{7}{12^4}\right)\left(1 + \frac{1}{12^4} + \frac{1}{12^8} + \dots\right) \end{array} $$
Осталась лишь «самая малость». (Впрочем, в XXI веке есть довольно удобная штука под названием калькулятор, с помощью которого это действительно просто.) Первый сомножитель вычисляем непосредственно, а второй (как вы конечно заметили) — это сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которую мы тоже умеем вычислять: $$ \begin{array}{l} \frac{2}{12} + \frac{4}{12^2} + \frac{9}{12^3} + \frac{7}{12^4} = \frac{ ((2\cdot12 + 4)\cdot12 + 9)\cdot12+7}{12^4} = \frac{4147}{12^4} \end{array} $$ $$ \begin{array}{l} 1 + \frac{1}{12^4} + \frac{1}{12^8} + \dots = \frac{1}{1-\frac{1}{12^4}} = \frac{12^4}{12^4-1} = \frac{12^4}{20735} \end{array} $$
Окончательно: $$ 0,(2497)_{12} = \frac{4147}{12^4} \times \frac{12^4}{20735} = \frac{4147}{20735} = \frac{1}{5} $$
Как видите, это фактически усложненный вариант предыдущего метода, хотя для конечных дробей он вполне нагляден и понятен.
4. Вычисление длины периода соответствующей десятичной дроби.
Перейдем, наконец, к тому, было анонсировано вначале: рассмотрим возможность определения длины периода, не производя перевод в десятичную дробь.
Как мы уже знаем, если у знаменателя нет делителей, отличных от 2 и 5, дробь является конечной. В этом разделе мы будем предполагать, что у знаменателя есть простой делитель отличный от 2 и 5, так что соответствующая ей десятичная дробь является бесконечной периодической. При этом, так как целая часть не влияет на длину периода, мы снова будем считать дробь правильной, то есть полагать, что числитель меньше знаменателя.
4.1. Свойства длины периода «чисто-периодической» дроби
Начнем излюбленных «чисто-периодических» дробей. Как были замечено в 2.3, такой дроби соответствует несократимая дробь, знаменатель которой не делится на 2 и на 5, то есть взаимно прост с 10.
Приглядевшись к равенствам $\eqref{eq:2.3.3}$ (или $\eqref{eq:2.3.4}$) можно сделать следующий вывод:
4.1.1 Длина периода десятичного представления несократимой дроби $\frac{a}{b}$, знаменатель которой не делится на 2 и на 5, есть наименьшее из $n$, при котором число $10^{\,n}-1$ (или $\underbrace{9\dots9}_{n\;\text{девяток}}$) делится на $b$.
В самом деле, если $p$ — длина периода десятичного представления дроби $\frac{a}{b}$, то, как следует из $\eqref{eq:2.3.3}$, $\frac{a}{b} = \dfrac{s}{10^p-1}$, для некоторого натурального $s$. Вследствие несократимости $\frac{a}{b}$, это возможно только тогда, когда знаменатель правой части кратен $b$ (в частности, числа могут быть равными).
С другой стороны, число $10^p-1$ является наименьшим из чисел вида $10^n-1$ кратных $b$. Действительно, если бы существовало $p_1 \lt p$, такое что $10^{p_1}-1$ кратно $b$, то дробь $\frac{a}{b}$ можно было бы расширить до дроби $\dfrac{s_1}{10^{p_1}-1}$. Так как дробь считается правильной, ее числитель $s_1$ должен содержать не более $p_1$ знаков. В таком случае ($s_1$) был бы периодом дроби длиной меньше $p$, тогда как $p$ — длина наименьшего периода.
Следствия:
4.1.2 Десятичные представления несократимых дробей с одним и тем же знаменателем, не кратным 2 или 5, имеют одинаковую длину периода.
4.1.3 Длина периода десятичного представления несократимой дроби со знаменателем, не кратным 2 или 5, не изменится, если дробь умножить на число, взаимно простое со знаменателем.
В самом деле, если $s$ взаимно просто с $b$, то после умножения на $s$ несократимой дроби $\frac{a}{b}$ получаем дробь $\frac{as}{b}$ которая также является несократимой и имеет тот же знаменатель.
Следствие 4.1.2 позволяет для каждого $n$, не кратного 2 или 5, ввести функцию $\lambda(n)$ (буква «лямбда»), обозначающую длину периода десятичного представления несократимой дроби со знаменателем $n$, которая не зависит от числителя дроби. Кроме того, из 4.1.1 следует, что $$ 10^{\lambda(n)}-1 \; \text{делится на} \; n \label{eq:4.1.1}\tag{4.1.1} $$
Отметим еше один полезный факт (не связанный напрямую с периодическими дробями), используемый в дальнейшем:
4.1.4. Пусть $a$, $b$ и $n$ — целые числа, причем $a \ne b$ и $n \gt 0$. Тогда $a^n - b^n$ делится на $a-b$.
Для доказательства достаточно заметить, что $x=b$ является корнем многочлена $x^n-b^n$, так что, согласно (малой) теореме Безу (англ. Little Bézout theorem), $x-b$ является делителем многочлена $x^n-b^n$. Другое доказательство вытекает из следующего тождества(проверяемого раскрытием скобок и сокращением подобных членов в правой части): $$ a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+ab^{n-2}+b^{n-1}) $$
4.2. Функция Эйлера
Для целого $n>1$ введем функцию $\varphi (n)$ (буква «фи»), означающую количество натуральных (целых положительных) чисел меньших $n$ и взаимно простых с $n$. В частности, если $p$ — простое число, то все натуральные числа, меньшие $p$ являются взаимно простыми с ним, поэтому $\varphi(p)=p-1$. Функция $\varphi(n)$ введена знаменитым Эйлером (Leonhard Euler) и носит его имя. Легко видеть, что $\varphi (n)$ — количество несократимых правильных дробей со знаменателем $n$.
В англоязычной литературе используют термин Euler's Totient Function, где слово 'totient' (по-видимому, гремучая смесь латинских, а также английских, слов 'totus' — всё и 'quotient' — частное) введено английским математиком Джеймсом Сильвестром (James Joseph Sylvester) в основанном им Американском Математическом Журнале ("On Certain Ternary Cubic-Form Equations", Amer. J. Math 2 1879, стр 280-285, 357-393) по-видимому специально для того, чтобы дать этой функции а также связанной с ней теореме Эйлера особое название, отличное от названий множества других фактов, открытых этим великим ученым (напр. бета-функция и гамма-функция Эйлера в математическом анализе или теорема Эйлера для многогранников и графов). Другими нововведениями Сильвестра (согласно Stack Exchange) являются слова «дискриминант» и «матрица». В других языках предпочитают говорить просто «фи-функция Эйлера» или даже «функция Эйлера», предполагая, что конкретика понятна из контекста.
Так как изучение функции Эйлера не является самоцелью, приведу некоторые ее свойства без доказательств. Впрочем, знакомые с теорией вычетов могут найти довольно простые доказательства в Википедии:
- Если $a$ и $b$ — взаимно-простые числа, то $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$
- Если $p$ — простое число, а $k$ — натуральное, то $\varphi(p^k) = p^{k-1}(p-1) = p^k \left(1-\frac{1}{p}\right)$
Опираясь на эти свойства можно найти $\varphi(n)$ для целого $n \gt 1$. Для этого разложим $n$ на простые множители: $n = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$. Из вышеперечисленных свойств сразу следует, что $$ \varphi(n) = p_1^{\alpha_1}\left(1-\frac{1}{p_1}\right)p_2^{\alpha_2}\left(1-\frac{1}{p_2}\right)\dots p_k^{\alpha_k}\left(1-\frac{1}{p_k}\right) $$ или $$ \varphi(n) = n\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)\dots \left(1-\frac{1}{p_k}\right) \label{eq:4.2.1}\tag{4.2.1} $$
Формула $\eqref{eq:4.2.1}$, называемая формулой произведения Эйлера (англ. Euler's product formula), дает удобный способ вычисления $\varphi(n)$.
Пример. Так как $12=2^2 \cdot 3$, то $\varphi(12)=12 \cdot (1-\frac{1}{2}) \cdot (1-\frac{1}{3}) = 12 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = 4$. Действительно есть 4 натуральных числа, меньших 12 и взаимно простых с 12: 1, 5, 7, 11.
4.3. Связь функции Эйлера с длиной периода «чисто-периодической» дроби.
Вернемся к привычному делению «уголком». Понятно, что каждый остаток при таком делении меньше делителя (то есть знаменателя) $b$, поэтому максимум на $b$-м шаге остаток повторится. Таким образом длина периода $\lambda(b)$ всегда меньше $b$. Оказывается, что верно более строгое утверждение: \lambda(b) \leqslant $\varphi(b)$, что является следствием следующего утверждения:
4.3.1 В случае несократимой дроби, знаменатель которой взаимно прост с 10, остатки при делении «уголком» являются взаимно простыми со знаменателем.
Пусть $\frac{a}{b}$ — несократимая дробь, которую можно считать правильной: $a \lt b$. Согласно правилу (алгоритму) деления «уголком» к числу $a$ следует приписать ноль (т.е умножить $a$ на 10), затем разделить на $b$:
$$
10a = q_1b + r_1 \label{eq:4.3.1}\tag{4.3.1}
$$
Частное $q_1$ становится очередным десятичным разрядом, так что в данном случае оно нас не особенно интересует. Куда интереснее остаток $r_1$, который является взаимно простым с $b$. В самом деле, если $b$ и $r_1$ имеют общий делитель $d>1$, то согласно равенству $\eqref{eq:4.3.1}$, число $10a$ также делится на $b$. Поскольку $b$ взаимно простое с 10, число $a$ должно делиться на $d$. Таким образом дробь $\frac{a}{b}$ можно сократить на $d$, что противоречит несократимости дроби.
Если $r_1=a$, длина периода равна единице. В противном случае следует приписать 0 к $r_1$ и разделить на $b$, получив новый остаток $r_2$. Применяя утверждения, аналогичные предыдушему этапу, заключаем, что $r_2$ и $b$ — взаимно простые числа и т.д. Утверждение 4.3.1 доказано.
Пусть $p$ — длина периода дроби $\frac{a}{b}$, $\overline{q_1q_2 \dots q_p}$ — период дроби, $r_1, r_2 ... r_p$ — остатки от деления «уголком». Легко заметить, что период дроби $\frac{r_i}{b}$, есть $\overline{q_{i+1} q_{i+2} \dots q_p q_1 \dots q_i}$, то есть является циклическим сдвигом периодa дроби $\frac{a}{b}$. При этом последовательность остатков есть $r_{i+1}, r_{i+2}, \dots r_p, r_1 \dots r_i$ что является циклическим сдвигом остатков на ту же величину.
Если длина периода равна $\varphi(b)$, то все числа, меньшие $b$ и взаимно простые с $b$ находятся среди остатков. В противном случае ($p \lt \varphi(b)$) должно существовать число $a_1$, которое меньше $b$, взаимно простое с $b$, но не встречается среди $r_i$. Рассмотрим дробь $\frac{a_1}{b}$. Согласно следствию 4.1.2, длина периода такой дроби также равна $p$, при этом ни один из остатков дроби $\frac{a_1}{b}$ не должен встречаться среди остатков дроби $\frac{a}{b}$, иначе периоды сольются.
Может оказаться, что существует некоторое $a_2$, меньшее $b$ и взаимно простое с $b$, не встречающееся среди остатков дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{a_1}{b}$. В этом случае рассматриваем дробь $\frac{a_2}{b}$. Повторяем процесс до тех пор, пока все числа меньшие $b$ и взаимно простые с $b$ не окажутся среди остатков.
В результате этого получим совокупность $n$ дробей $\frac{a}{b},\;\frac{a_1}{b}\;\dots\;\frac{a_{n-1}}{b}$, имеющих одинаковую длину периода $p$, следовательно количество остатков каждой дроби одинаково и равно $p$. При этом каждое число, меньшее $b$ и взаимно простое с $b$ находится среди остатков одной и только одной дроби. Отсюда следует, что общее количество чисел меньших $b$ и взаимно простых $b$ кратно периоду дробей: $\varphi(b)= np$. Доказано следующее утверждение:
4.3.2 Длина периода десятичного представления несократимой дроби, знаменатель $b$ которой взаимно прост с 10, является делителем функции Эйлера $\varphi(b)$, другими словами $\varphi(b)$ делится на $\lambda(b)$.
Из этого следует, что $\varphi(b)$ является одним из периодов десятичного представления несократимой десятичной дроби со знаменателем $b$, однако не всегда наименьшим периодом.
Вспомним, что если $b$ и 10 — взаимно простые числа и $p=\lambda(b)$, то ввиду $\eqref{eq:4.1.1}$, число $10^p-1$ делится на $b$. С другой стороны, поскольку $\varphi(b)= np$, то, согласно 4.1.4, $10^{\,\varphi(b)}-1 = \left(10^p\right)^n-1$ делится на $10^{\,p}-1$, а следовательно делится на $b$. Сформулируем полученный результат:
4.3.3 Если $b$ и 10 — взаимно простые числа, то $10^{\varphi(b)}-1$ делится на $b$.
Заметим, что в последнем утверждении совершенно не упоминаются периодические дроби. Более того совершенно очевидно, что своим появлением число 10 обязано использованию десятичной системы счисления. Перейдем же от десятичной системы счисления к системе счисления с произвольным основанием $a$:
4.3.4 (Теорема Эйлера) Если $a$ и $b$ — взаимно простые числа, то $a^{\varphi(b)}-1$ кратно $b$.
Один нюанс: систему с счисления с основанием $a$ имеет смысл рассматривать только тогда когда $a \gt 1$. Однако, при $a=1$, число $a^{\varphi(b)}-1$ равно нулю и делится на любое $b$. Поэтому требовать $a \gt 1$ нет необходимости.
Утверждение 4.3.4 есть знаменитая теорема Эйлера (англ Euler's totient theorem). Разумеется, традиционное доказательство теоремы (основанное на теории вычетов) является более простым, однако здесь теорема Эйлера не являлась самоцелью, а получена как побочный результат.
В частности если $b$ – простое число $p$, то $\varphi(p)=p-1$, причем $a$ и $p$, имеют общий делитель, отличный от 1 тогда и только тогда, когда $p$ является множителем числа $a$. Таким образом приходим к следующему:
4.3.5 (Малая теорема Ферма - Fermat's little Theorem) Если $p$ — простое число и $a$ не делится на $p$, то $a^{p-1}-1$ кратно $p$.
4.4. Дроби со знаменателем делящимся на 2 или 5
Увы, кроме «чисто-периодических» встречаются также дроби, у который период не начинаются сразу после десятичной запятой. Мы видели, что в этом случае знаменатель соответствующей несократимой обыкновенной дроби содержит как делители числа 10 (т.е. 2 или 5), так и делители, взаимно простые с 10. Покажем что делители 2 и 5 не влияют на длину периода.
Начнем с почти очевидного утверждения:
4.4.1 Длина периода десятичной дроби не изменится при умножении на $10^n$, где $n$ — натуральное (целое положительное) число.
В самом деле, умножение на 10 — это просто перенос запятой вправо. Если при этом длина периода равна 1 или у дроби есть предпериод, этот сдвиг на период не окажет влияния. В случае «чисто-периодической дроби» с длиной периода больше 1, период циклически сдвинется, напр. $\frac{1}{13} = 0,(076923)$ $\frac{10}{13}=0,(769230)$, однако длина периода не изменится.
Очевидно, умножение на $10^n$ равносильно $n$–кратному умножению на 10. Так как при каждом умножении длина периода не меняется, то она сохранится в результате умножения на $10^n$.
Более формально утверждение 4.4.1 можно доказать следующим образом. Пусть $p$ — период десятичной дроби $a$. Это значит, что существует достаточно большое $N$, такое что при $n \geqslant N$ дробные части $a \cdot 10^{n+p}$ и $a \cdot 10^n$ совпадают, то есть $a \cdot 10^{n+p}-a\cdot 10^n = 10^n(10^p-1)a$ — целое число. Пусть $b=a \cdot 10^k$, где $k$ - целое число (положительное или отрицательное). Покажем, что $10^n(10^p-1)b$ — целое число при достаточно большом $n$. В самом деле, $10^n(10^p-1)b = 10^{n+k}(10^p-1)a$. Поэтому достаточно положить $n+k \geqslant N$ или $n \geqslant N-k$, чтобы $10^n(10^p-1)b$ было целым.
4.4.2 Длина периода десятичного представления несократимой дроби не изменится, если из разложения знаменателя на простые множители отбросить все двойки и пятерки.
Пусть дробь $\frac{a}{b}$ несократима, причем $b=2^{n_1}5^{n_2}b_1$, где $b_1$ не делится на 2 или 5 (то есть $b$ и 10 — взаимно простые числа). Согласно 4.4.1 длина периода дроби не изменится при ее умножении на $10^n$, где $n$ — наибольшее из $n_1$ и $n_2$. После такого умножения дробь можно сократить на $2^{n_1}5^{n_2}$, в результате чего получим дробь вида $\frac{a_1}{b_1}$, где $a_1=2^{n-n_1}5^{n-n_2}a$. Знаменатель $b_1$ взаимно прост как с $a$ так и с 10, поэтому дроби $\frac{a_1}{b_1}$ и $\frac{a}{b_1}$ является несократимыми со знаменателем, взаимно простым с 10, так что, согласно 4.1.2, им соответствует равная длина периода. Кроме того, как было ранее замечено, дробям $\frac{a}{b}$ и $\frac{a_1}{b_1}$ также соответствует одинаковая длина периода. Таким образом, длина периода, соответствующего дробям $\frac{a}{b}$ и $\frac{a}{b_1}$ одинакова, причем $b_1$ получается отбрасыванием множителей 2 и 5 из $b$.
Из доказанного в частности следует, что хотя утверждение 4.1.1 очевидно не применимо к знаменателю, кратному 2 или 5, следствия 4.1.2 и 4.1.3 можно обобщить для произвольного знаменателя:
4.4.3 Десятичные представления несократимых дробей с одним и тем же знаменателем имеют одинаковую длину периода.Пусть $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{b}$ — несократимые дроби. В силу 4.1.2 достаточно рассмотреть случай, когда $b$ кратно 2 или 5. Пусть $b_1$ — число, получаемое отбрасыванием двоек и пятерок из $b$. Согласно 4.4.2, дробям $\frac{a}{b}$ и $\frac{a}{b_1}$, а также дробям $\frac{c}{b}$ и $\frac{c}{b_1}$ соответствует одинаковая длина периода. С другой стороны, согласно 4.1.2, длины соответствующих периодов дробей $\frac{a}{b_1}$ и $\frac{c}{b_1}$ одинаковы, чем завершается доказательство.
4.4.4 Длина периода десятичного представления несократимой дроби не изменится при ее умножении на число, взаимно простое со знаменателем.
Доказательство аналогично доказательству 4.4.3.
Утверждение 4.4.3 позволяет распространить введенную в 4.1 функцию $\lambda(n)$ на любое целое положительное $n$. При этом, если $n=1$ или не имеет простых делителей кроме 2 и 5 (то есть соответствующая десятичная дробь конечна), будем полагать $\lambda(n)=0$. Таким образом, утверждение 4.4.2 можно сформулировать следующим образом:
4.4.5 Если $a= 2^n 5^m b$, где $b$ и 10 взаимно простые, то $\lambda(a) = \lambda(b)$
4.5. Способы нахождения длины периода
Из вышесказанного вытекает следующий способ вычисления длины периода десятичной дроби, соответствующей заданной обыкновенной дроби:
- Делаем дробь несократимой
- Делим знаменатель на 2 и 5, пока деление возможно без остатка. Если полученный знаменатель $b$ равен единице, дробь является конечной. Иначе выполняем последующие шаги.
- Пользуясь $\eqref{eq:4.2.1}$, находим функцию Эйлера от знаменателя $\varphi(b)$ и выписываем все его делители в порядке возрастания: $g_1=1, g_2, \dots g_k=\varphi(b)$ $(g_1 \lt g_2 \lt \dots \lt g_k$).
- Для каждого делителя $g_i$ (в порядке следования) вычисляем $10^{\,g_i}-1$. Если полученное число делится на $b$, число $g_i$ является искомой длиной периода. Поскольку, согласно 4.3.2, число $10^{g_k}-1 = 10^{\varphi(b)}-1$ делится на $b$, этот процесс обязан завершиться результатом.
Предвижу возмущения типа «Гораздо проще просто разделить уголком!». Говоря откровенно, с этим действительно сложно поспорить. Утешением служит то, что факты, приведенные ниже позволяют значительно упростить вычисление длины периода.
Теперь, можно перейти к формулировке «утешительных фактов».
4.5.1 Пусть $a$ и $b$ — взаимно простые числа каждое из которых не делится на 2 и на 5. Тогда $\lambda(ab)$ есть наименьшее общее кратное чисел $\lambda(a)$ и $\lambda(b)$.
Пусть $m=\lambda{a}$, $n=\lambda{b}$, $k$ — наименьшее общее кратное $m$ и $n$. Тогда $\frac{k}{m}$ и $\frac{k}{n}$ — целые числа. Согласно 4.1.1 для доказательства достаточно показать, что $k$ — наименьшее из $s$, при котором $10^{\,s}-1$ делится на $ab$. Таким образом доказательство состоит из двух частей:
1. $10^{\,k}-1$ делится на $ab$.
В самом деле: $10^{k}-1 = (10^m)^\frac{k}{m}-1$ делится на $10^m-1$ и согласно 4.1.1 делится на $a$. С другой стороны $10^{k}-1 = (10^n)^\frac{k}{n}-1$ делится на $10^n-1$ и следовательно делится на $b$. Так как $a$ и $b$ — взаимно простые, число $10^{k}-1$ делится на их произведение.
2. Если $10^{\,s}-1$ делится на $ab$, то $s\geqslant k$.
Пусть $10^{\,s}-1$ делится на $ab$. Разделим $s$ на $m$ с остатком: $s=mq+r,\;0\leqslant r \lt m$. Таким образом
$$
10^{\,s}-1=\left(10^{\,m}\right)^{\,q}\cdot 10^{\,r} - 1 = 10^{\,r}(\left(10^{\,m}\right)^q-1) + (10^{\,r}-1)
$$
Первое слагаемое правой часто делится на $10^m-1$ и следовательно делится на $a$. Так как левая часть $10^{\,s}-1$ делится $a$, то второе слагаемое правой части $10^{\,r}-1$ также должно делиться на $a$. Однако, если $r \gt 0$, то в силу минимальности $m$ и $r \lt m$, число $10^{\,r}-1$ не делится на $a$. Следовательно $r=0$, то есть $s$ делится на $m$. Аналогично доказывается делимость $s$ на $n$. Отсюда следует, что $s$ делится на наименьшее общее кратное чисел $m$ и $n$, следовательно $s \geqslant k$, что и требовалось.
Используя 4.5.1, вычислим, например, $\lambda(1001)$. Имеем: $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$. Находим длины периода для делителей: $\frac{1}{7}=0,(142857)$, $\frac{1}{11}=0.(09)$, $\frac{1}{13}=0,(076923)$. Таким образом $\lambda(7)=\lambda(13)=6$, $\lambda(11)=2$, откуда $\lambda(1001)=\text{НОК}(2,6)=6$. Возражения? — Не без таковых! В данном случае результат можно получить быстрее, если заметить, что $\frac{1}{1001}=\frac{999}{999999}$, так что $\frac{1}{1001}=0,(000999)$. Однако это лишь прекрасное подтверждение правильности наших вычислений!
Другой пример: знаменатель $315$. Имеем: $315=7\cdot 5 \cdot 9$. Множитель 5 игнорируем. Как мы уже знаем $\lambda(7)=6$, что касается $\lambda(9)$, то здесь совсем просто: $\frac{1}{9}=0,(1)$, откуда $\lambda(9)=1$. Следовательно $\lambda(315)=\text{НОК}(6,1)=6$. Впрочем, чуть ниже на этой страницы приводится Калькулятор позиционной дроби (Увы, пришлось создавать самому, так как все online-калькуляторы, которые удалось найти, не отличаются достаточной точностью вычисления.) За неимением более элегантного способа, почему бы им не воспользоваться для проверки? Постучав кнопками и клавишами, получаем: $\frac{1}{315}=0,0(031746)$, и опять без неприятных сюрпризов.
Пример $\lambda(9)$ заставляет задуматься о нахождении $\lambda(p^n)$, где $p$ — простое число. Легко проверить, что $\lambda(3)=\lambda(9)=1$, но $\lambda(27)=3$, $\lambda(81)=9$, $\lambda(243)=27$. Получается, что, начиная с $n=3$ значение $\lambda$ увеличивается в геометрической прогрессии! Является такое увеличение закономерностью, и как долго это будет продолжаться? Ответ дает следующее утверждение:
4.5.2 Пусть $p$ — простое число, отличное от 2 или 5, a $k$ — наибольшее из $i$ при котором $\lambda(p^i)=\lambda(p)$. Тогда:
$$
\lambda(p^n)= \begin{cases}
\lambda(p),\;\; \text{если}\;1 \leqslant n\leqslant k \\
p^{n-k} \, \lambda(p), \;\; \text{если}\;n \gt k \\
\end{cases}
$$
Последнюю формулу можно записать в виде одной строки: $$ \lambda(p^n)= \lambda(p) \cdot p^{max(0,n-k)} $$
Вначале докажем следующее вспомогательное утверждение:
Лемма 1. Если $p$ — простое число, отличное от 2 или 5 и $m \gt n$, $\lambda(p^m)$ кратно $\lambda(p^n)$.
Доказательство леммы сходно с доказательством утверждения 4.5.1. Пусть $x=\lambda(p^m)$, $y=\lambda(p^n)$. Разделим $x$ на $y$ с остатком: $x=qy+r,\;0\leqslant r \lt y$. Тогда: $$ 10^{\,x}-1 = \left(10^{\,y}\right)^{\,q}\cdot 10^{\,r} - 1 = 10^{\,r}(\left(10^{\,x}\right)^q-1) + (10^{\,r}-1) $$
Первое слагаемое правой части делится на $10^{\,y}-1$ a следовательно и на $p^n$. Левая часть равенства $10^{\,x}-1$ делится на $p^m$, следовательно также на $p^n$. Поэтому второе слагаемое правой части $10^{\,r}-1$ должно делиться на $p^n$. Рассуждая аналогично доказательству утверждения 4.5.1, заключаем, что $r=0$, то есть $x$ делится на $y$.
Из доказанной леммы в частности следует, что если $m \geqslant n$, то $\lambda(p^m) \geqslant \lambda(p^n)$, то есть последовательность $\lambda{p^n}$ является монотонно-неубывающей. В частности, если $1 \leqslant n \leqslant k$, то $\lambda(p) \leqslant \lambda(p^n) \leqslant \lambda(p^k)$, откуда, учитывая $\lambda(p^k) = \lambda(p)$, получаем $\lambda(p^n)=\lambda(p)$, что доказывает утверждение 4.5.2 для случая $1 \leqslant n \leqslant k$.
Для рассмотрения случая $n \gt k$ усилим утверждение леммы 1:
Лемма 2. Если $p$ — простое число, отличное от 2 или 5, и $\lambda(p^{n+1}) \ne \lambda(p^n)$, то $\lambda(p^{n+1}) = p \lambda(p^n)$.
Пусть $v=\lambda(p^n)$. Тогда $10^v - 1$ делится на $p^n$, то есть $10^v = 1+tp^n$, где $t$ - натуральное число (здесь и далее 0 не считается натуральным числом). Возводя в степень $p$ по формуле бинома Ньютона, получим: $$ 10^{vp} = 1 + p(tp^n) + C_p^2 (tp^n)^2 + \dots = 1 + p^{n+1}q, \;\; \text{где} \;q\; \text{— натуральное число} $$
Таким образом $10^{vp}-1$ делится на $p^{n+1}$, поэтому $vp$, оно же $p\lambda(p^n)$ кратно $\lambda(p^{n+1})$: $$ p\lambda(p^n) = s\lambda(p^{n+1}), \; \text{где}\;s\; \text{натуральное число} $$
С другой стороны, согласно лемме 1 $$ \lambda(p^{n+1}) = g \lambda(p^{n}), \; \text{где}\;g\; \text{натуральное число} $$
Из последних двух равенств получаем: $p=sg$. Вспомним, что согласно условию, $\lambda(p^{n+1}) \ne \lambda(p^{n})$, поэтому $g \ne 1$. Так как $p$ — простое число, последнее возможно только если $s=1$ и $g=p$. Таким образом $\lambda(p^{n+1}) = p\lambda(p^n)$, то и требовалось доказать.
Обратимся, наконец, к доказательству утверждения 4.5.2 для $n \gt k$. Было показано, что последовательность $\lambda(p^n)$ является монотонно неубывающей. В силу леммы 2 для завершения доказательства достаточно показать, что эта последовательность возрастает, начиная с $k+1$-го элемента, то есть $\lambda(p^{n+1}) \gt \lambda(p^{n})$ при $n \geqslant k$.
Признаюсь откровенно, что доказательство для $k=1$ автору увы неизвестно. Поэтом будем полагать $k \geqslant 2$. Доказательство проведем методом математической индукции.
Неравенство $\lambda(p^{k+1}) \ne \lambda(p^{k})$ вытекает непосредственно из определения $k$. Остается доказать, что из $\lambda(p^{n+1}) \gt \lambda(p^{n})$ следует $\lambda(p^{n+2}) \ne \lambda(p^{n+1})$ при $n \geqslant k$.
Для простоты выкладок введем обозначение $l_n = p^{n-k}\lambda(p)$. Таким образом $10^{l_n}-1$ делится на $p^n$. С другой стороны, согласно индукционному предположению, $l_n \lt \lambda(p^{n+1})$, так что $10^{l_n}-1$ не делится на $p^{n+1}$. Отсюда: $$ 10^{l_n} = 1 + tp^n,\;\;\text{где} \;t\;\text{- натуральное число, не кратное}\;p\text{.} $$
Снова возводим в $p$-ю степень по формуле бинома Hьютона. Учитывая $pl_n = l_{n+1}$, получаем $$ 10^{l_{n+1}} = 1 + p(tp^n) + C_p^2 (tp^n)^2 + \dots = 1 + tp^{n+1} + C_p^n t^2p^{2n} + \dots $$
Если $n \geqslant 2$, то $2n \geqslant n+2$, следовательно: $$ 10^{l_{n+1}} = 1 + p^{m+1}(t + qp), \; \text{где}\;q\; \text{натуральное число} $$
Осталось заметить, что, так как $t$ не делится на $p$, число $t+qp$ также не делится на $p$, следовательно $10^{l_{n+1}} - 1$ делится на $p^{n+1}$, но не делится на $p^{n+2}$, чем завершается индукционный переход.
В приведенном здесь доказательстве использованы идеи Andreas Curanti, изложенные на форуме stackexchange. Утверждения 4.5.1 и 4.5.2 сформулированы без доказательств в The period length of the decimal expansion of a fraction by Helmut Richter . Как видим, доказательства оказались не столь простыми, как по-видимому предполагал автор. Хотя, возможно я ошибаюсь. Буду очень признателен тому, кто предложит более простое доказательство, а если к тому же оно охватит случай $k=1$, моей радости не будет границ.
В силу того, что случай $k=1$ оставлен без доказательства, сформулируем то, что фактически было доказано:
4.5.3 Пусть $p$ — простое число, отличное от 2 или 5, a $k$ — целое число, большее 1, при котором $\lambda(p^{k+1}) \gt \lambda(p^k)$. Тогда:
$$
\lambda(p^n)= p^{n-k} \lambda(p^k)\;\; \text{при}\; n \geqslant k
$$
Пример. Опираясь только на доказанное утверждение 4.5.3, вычислим $\lambda(7^n)$. Нам уже известно, что $\lambda(7)=6$. С помощью приведенного ниже калькулятора находим $\lambda(7^2)=\lambda(49)=42 \gt \lambda(7)$. Так как для $k=1$ утверждение не доказано, приходится исследовать следующее значение: $\lambda(7^3)=\lambda(343)=294 \gt \lambda(7^2)$. Теперь в силу утверждения 4.5.3 можно без всякого сомнения утверждать, что $\lambda(7^n)=7^{\,n-2}\lambda(7^2)$ или $\lambda(7^n)=6 \cdot 7^{\,n-1}$ при $n \geqslant 2$, тогда как при $n=1$ равенство проверяется непосредственно.
| Описание Часть 1 |
Описание Часть 2 |
Условия задач |
Решения задач |
