Описание
Часть 2

5. Сильные и слабые иррациональности.

Доказательство иррациональности числа $\pi$ настолько удлинило эту публикацию, что прежде чем что-то доказывать, придется тщательно подумать, а сто́ит ли это делать. К сожалению, детальное изучение понятий, изложенных в этой части, требуют глубокого погружения в высшую алгебру и матанализ, где сам автор чувствует себя не вполне уверенно. В конце концов это всего лишь любительские заметки, призванные доставить удовольствие как читающим, так и пишущему, и превращать их в обширную монографию нет никакой необходимости. Остается лишь искренне попросить извинения за то, что в большинстве фактов этой части доказательства опущены.😌

5.1 Алгебраические числа.

Как мы все хорошо знаем, возведение в степень далеко не всегда позволяет избавиться от иррациональности. Конечно, если речь идет о числах типа $\sqrt[n]{a}$, то здесь все очевидно. Однако с числом $1 + \sqrt{2}$, можно возиться бесконечно, так как сколько ни возводи в степень от радикала избавиться невозможно: $$ \begin{array}{l} (1+\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2} \\ (1+\sqrt{2})^3 = 1 + 3\sqrt{2} + 6 + 2\sqrt{2} = 7 + 5\sqrt{2} \\ (1+\sqrt{2})^4 = 1 + 4\sqrt{2} + 12 + 8\sqrt{2} + 4 = 17 + 12\sqrt{2} \\ \text{и т.д.} \end{array} $$

Объясняется это присутствием присутствием слагаемых с нечетными степенями $\sqrt{2}$, которые в сумме дают число $a\sqrt{2}$, причем, согласно формуле бинома Ньютона, все коэффициенты положительные, так что $a \gt 0$.

Поступим другим путем. Введем буквенное обозначения для нашей величины: $x = 1 + \sqrt{2}$, после всего достаточно изолировать радикал, как все становится на свои места: $$ \begin{array}{l} \sqrt{2} = x - 1 \quad \Rightarrow \quad 2 = (x-1)^2 \\ x^2-2x-1 = 0 \end{array} $$ так что число $x = 1 + \sqrt{2}$ является корнем квадратного полинома $x^2-2x-1$.

В случае суммы двух квадратных корней путь немного длиннее: $$ \begin{array}{l} x = \sqrt{2} + \sqrt{3} \\ \sqrt{3} = x - \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad 3 = x^2 - 2x\sqrt{2} + 2 \\ 2x\sqrt{2} = x^2 - 1 \quad \Rightarrow \quad 8x = x^4 - 2x^2 + 1 \\ x^4 - 2x^2 - 8x + 1 = 0 \end{array} $$

Наконец, если взять сумму корней разной степени $x = \sqrt[3]{2} + \sqrt{3}$, то и здесь, хоть и не без труда, удается найти многочлен с целыми коэффициентами, можно проделать следующие операции: $$ \begin{array}{l} \sqrt[3]{2} = \sqrt{3} - x \\ 2 = 3\sqrt{3} - 9x + 3x^2\sqrt{3} - x^3 \\ 3\sqrt{3}(x^2+1) = x^3 + 9x + 2 \\ 27(x^4 + 2x^2 + 1) = x^6 + 81x^2 + 4 + 18x^4 + 4x^3 + 36x \\ x^6 - 9x^4 + 4x^3 + 27x^2 + 36x - 23 = 0 \end{array} $$

Приведенные примеры показывают (хотя и не доказывают), что:

Утверждение 5.1.1 Всякое число, представимое в радикалах (то есть, которое можно получить из целых чисел путем четырех арифметических операций и операции извлечения корня целой степени) является корнем некоторого полинома с целыми коэффициентами.

Обратное утверждение неверно, поскольку, согласно теореме Абеля-Руффини, уравнение пятой степени в общем случае неразрешимо в радикалах.

В настоящее время известны различные способы доказательства теоремы Абеля-Руффини. Один из них изложен в статье В. Тихомиров. Абель и его великая теорема. Квант 2003 № 1. Судя по журналу, в котором статья была опубликована, она должна быть понятна даже школьнику. Хотелось бы однако взглянуть на школьника, не являющегося натасканным гением из талант-шоу, у которого эта публикация не вызвала бы вопросов. На самом деле вопросы могут возникнуть даже у специалиста, так как некоторые факты (например неприводимость многочлена $x^5 - 4x - 2$, на основе которого построено доказательство) так и остались недоказанными, а если уж браться за доказательство, то не следует оставлять белых пятен! Еще одна публикация, предназначенная для неподготовленного читателя: В.Б. Алексеев. Теорема Абеля в задачах и решениях. Здесь следует прочесть всю книгу (в которой приведен ряд других полезных фактов и множество различных задач на эту тему), чтобы в конце ее найти доказательство. Упомяну, наконец, об одной остроумной заметке, рассчитанной на проницательного читателя А. Скопенков. Простое доказательство теоремы Абеля о неразрешимости уравнений в радикалах. Правда, в ней больше вопросов, чем ответов, однако verbum sapienti sat est.

Число, являющееся корнем многочлена с целыми коэффициентами, называется алгебраическим (англ. algebraic number). Из вышесказанного следует, что множество чисел, представимых в радикалах, является строгим подмножеством множества алгебраических чисел.

Здесь требуется небольшое уточнение. Дело в том, что многочлен с целыми коэффициентами может иметь и мнимые корни, которые также вправе считаться алгебраическими числами. Например, алгебраическим числом является мнимая единица $i$, как корень многочлена $x^2+1$, а также $\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$ — мнимые корни многочлена $x^3-1$. Следует заметить, что число $a+bi$ является алгебраическим тогда и только тогда, когда $a$ и $b$ — оба алгебраические. Конечно, не следует забывать о существовании мнимых алгебраических чисел, однако, так как мнимые числа лежат вне зоны интересов этой публикации, постараюсь не обращать на них внимания всюду, где это возможно.😊

Заметим, если многочлен с целыми коэффициентами разделить на старший коэффициент, все коэффициенты полученного при этом приведенного многочлена окажутся рациональными, хотя некоторые возможно станут дробными. Наоборот, если у многочлена все коэффициенты рациональны, их можно сделать целыми, умножив многочлен на общее кратное знаменателей коэффициентов. Таким образом, алгебраическое число можно также определить, как число, являющееся корнем приведенного многочлена с рациональными коэффициентами.

Число называется целым алгебраическим (англ. algebraic integer), если оно является корнем приведенного многочлена с целыми коэффициентами Всякое целое число $n$ является целым алгебраическим, будучи корнем многочлена $x - n$. Вспомним однако, (утверждение 2.1.2), что рациональные корни приведенного многочлена с целыми коэффициентами обязаны быть целыми числами. Таким образом, среди целых алгебраических чисел встречаются иррациональные, но никак не дробные рациональные. Например, рассмотренные в начале главы числа $1 + \sqrt{2}$, $\sqrt{2} + \sqrt{3}$, $\sqrt[3]{2} + \sqrt{3}$ являются целыми алгебраическими, поскольку, как было показано, являются корнями приведенных многочленов с целыми коэффициентами. С другой стороны, число $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (оно же $\frac{\sqrt{2}}{2}$), будучи алгебраическим, не является целым алгебраическим, так как соответствующий приведенный многочлен $x^2 - \frac{1}{2}$ содержит дробный коэффициент.

Степенью алгебраического числа является наименьшая степень многочлена с целыми коэффициентами, корнем которого оно является. Таким образом, всякое рациональное (в частности целое) число $\frac{m}{n}$ является алгебраическим числом степени 1, так как является корнем многочлена первой степени $nx - m$ с целыми коэффициентами, а число $\sqrt[k]{r}$ ($k$ - целое, большее 1, $r$ — рациональное) является алгебраическим числом степени $k$, так как $(x^k - r)$ — многочлен наименьшей степени, решением которого является данное число. (Разумеется, речь идет о радикале, степень которого нельзя понизить, так как, например, $\sqrt[6]{4} = \sqrt[3]{2}$.)

Отметим ряд замечательных свойств алгебраических чисел.

Утверждение 5.1.2 Множество алгебраических чисел замкнуто относительно четырех арифметических операций и операции извлечения корня

Таким образом, сумма, разность, произведение и частное (конечно, о делении на нуль речь не идет) алгебраических чисел является алгебраическим числом. В отличие от рациональных чисел, корень из алгебраического числа — также алгебраическое число. Отсюда в частности следует, что рациональная степень положительного алгебраического числа является алгебраическим числом.

Между прочим, «алгебраичность» корня из алгебраического числа допускает очень простое доказательство: если $p(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число $a$, то для любого целого $k \gt 1$, увеличив степень каждого члена $p(x)$ в $k$ раз, мы получим многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является $\sqrt[k]{a}$.

Еще одно поистине сногсшибательное свойство алгебраических чисел:

Утверждение 5.1.3 Если коэффициенты многочлена — алгебраические числа, его корни — также алгебраические числа.

Примечание. Подразумеваются как действительные, так и мнимые корни.

Заметим, что во множестве алгебраических чисел, целые алгебраические числа представляют собой аналогию целых чисел, а именно:

Утверждение 5.1.4 Множество целых алгебраических чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения.

То есть сумма, разность и произведение целых алгебраических чисел является целым алгебраическим числом, тогда как результат деления может не оказаться целым алгебраическим.

Аналогом утверждения 2.1.2 является следующий факт:

Утверждение 5.1.5 Если коэффициенты приведенного многочлена — целые алгебраические числа, его корни — также целые алгебраические числа.

Примечание. И в этом случае корни могут оказаться мнимыми.

В заключение, чтобы не оставить эту главу совершенно «бездоказательной», приведу (собственное, так что наверное не самое лучшее) доказательство следующего факта:

Утверждение 5.1.6 Для любого алгебраического числа $\alpha$ можно подобрать натуральное $k$, чтобы число $k\alpha$ было целым алгебраическим.

Доказательство. Пусть число $\alpha$ является корнем многочлена с целыми коэффициентами, так что $$ p_0\alpha^n + p_1\alpha^{n-1} + p_2\alpha^{n-2} + \dots + p_{n-1}\alpha + p_n = 0, $$ где $p_i$ — целые числа, причем $p_0 \ne 0$.

Без ограничения общности, $p_0$ можно считать положительным (иначе умножаем многочлен на (-1)), кроме того, будем полагать $p_0 \gt 1$, так как если $p_0=1$, то $\alpha$ уже является целым алгебраическим.

Умножив на $p_0^{n-1}$, получим: $$ p_0^n\,\alpha^n + p_1\,(p_0^{n-1}\alpha^{n-1}) + p_2p_0\,(p_0^{n-2}\alpha^{n-2}) + \dots + p_{n-1}p_0^{n-2}\,(p_0\,\alpha) + p_n p_0^{n-1} = 0, $$ откуда видно, что число $\beta = p_0 \alpha$ является корнем приведенного многочлена $$ x^n + p_1x^{n-1} + p_2p_0x^{n-2} + \dots + p_{n-1}p_0^{n-2}x + p_n p_0^{n-1} $$ с целыми коэффициентами, так что $\beta$ — целое алгебраическое число.

5.2 Квадратичные иррациональности

Данная глава присутствует исключительно, как мостик к рассмотрению цепных дробей в следующем разделе, заметно выпадая из общей сюжетной линии. Те, кому цепные дроби не интересны, могут ее пропустить без ущерба для понимания последующих глав этого раздела. В любом случае можно к ней вернуться непосредственно перед переходом к цепным дробям.

Квадратичные иррациональности — это алгебраические числа степени 2. Данная публикация ограничивается рассмотрением вещественных квадратичных иррациональностей, то есть вещественных иррациональных корней некоторого квадратного трехчлена. Следующее утверждение дает простой способ распознавания квадратичной иррациональности.

Утверждение 5.2.1 Вещественное число $\alpha$ является квадратичной иррациональностью тогда и только тогда, когда оно представимо в виде $p+q\sqrt{d}$, где $p$ и $q$ — рациональные числа, причем $q$ отлично от нулю, а $d$ — натуральное число, не являющееся полным квадратом.

Доказательство. Пусть $\alpha$ — (вещественная) квадратичная иррациональность. Тогда $\alpha$ — иррациональный корень многочлена $$ P(x) = аx^2 - bx - c \label{eq:5.2.1}\tag{5.2.1} $$ с целыми коэффициентами, причем $a \gt 0$. Обратите внимание на знаки коэффициентов. От этого некоторые формулы, столь привычные нам со школьных времен выглядят уже не столь привычно. Однако, как мы скоро убедимся, в этом есть определенный резон.

Итак, как мы еще не успели забыть из школьной математики, многочлен $P(x)$ имеет вещественные корни тогда и только тогда, когда целое число $d = b^2 + 4ac$ является неотрицательным. При этом корни даются формулой $$ x_{1,2} = \dfrac{b \pm \sqrt{d}}{2a} $$

и $\alpha$ является одним из корней. Поскольку $\alpha$ иррационально, $d$ не должно быть полным квадратом. В частности $d \ne 0$, так что $d$ — натуральное число. Число $d$ будем называть подкоренным числом.

Осталось положить $p = \dfrac{b}{2a}$, $q = \pm \dfrac{1}{2a}$. При этом $p$ и $q$ — рациональные числа, $q \ne 0$ и $\alpha = p+q\sqrt{d}$.

Наоборот, если $\alpha = p+q\sqrt{d}$, где $p$ и $q$ — рациональные числа, причем $q \ne 0$, а $d$ — натуральное число, не являющееся полным квадратом, то, согласно утверждению 4.1.2, $\alpha$ — иррационально. Осталось найти подходящий квадратный трехчлен.

Для этого рассмотрим число $p-q\sqrt{d}$, называемое сопряженным (англ. conjugate) к $\alpha$. Для обозначения сопряженных чисел часто применяется надчеркивание: $\overline{\alpha}$. Однако, поскольку здесь сопряженное появляется в знаменателе, для лучшей читабельности удобнее использовать штрих: $\alpha'$.

Легко подсчитать, что $$ \alpha + \alpha' = 2p \\ \alpha \alpha' = p^2 - q^2d\,, $$ так что согласно теореме Виета, иррациональные числа $\alpha$ и $\alpha'$ являются корнями многочлена $x^2 - 2px + (p^2 - q^2d)$ с рациональными коэффициентами, которые можно сделать целыми, умножив на общее кратное их знаменателей.

Попутно доказано следующее утверждение, которое нам понадобится в дальнейшем.

Утверждение 5.2.2 Если $\alpha$ — квадратичная иррациональность, то $\alpha$ и $\alpha'$ — корни одного и того же квадратного трехчлена с целыми коэффициентами.

Термин «сопряженное число» можно распространить на рациональные числа, если допустить в выражении $p+q\sqrt{d}$ возможность $q=0$. Легко заметить, что $p' = p$ для рационального $p$. Отметим следующие свойства сопряженных чисел:

Утверждение 5.2.3 Пусть $\alpha = p_1+q_1\sqrt{d}$, $\beta = p_2+q_2\sqrt{d}$, где $p_1$, $p_2$, $q_1$, $q_2$ — рациональные числа, а $d$ — натуральное число, не являющееся полным квадратом. Тогда

а) $(\alpha')' = \alpha$;

б) $\alpha' = \alpha$ тогда и только тогда, когда $\alpha$ рационально;

в) $\alpha$ и $\alpha'$ имеют одинаковые подкоренные числа;

г) $\alpha$ — квадратичная иррациональность тогда и только тогда, когда $\alpha'$ — квадратичная иррациональность;

д) ($\alpha \pm \beta)' = \alpha' \pm \beta'$;

е) ($\alpha \beta)' = \alpha' \beta'$;

ж) $\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)' = \frac{\alpha'}{\beta'}$;

Доказательство. Пункты а) б) и в) очевидны. Пункт г) следует из утверждения 5.2.1 (или 5.2.2). Пункты д), е) и ж) вытекают из тождеств: $$ \begin{array}{l} (p_1 \pm q_1\sqrt{d})\; + \;(p_2 \pm q_2\sqrt{d})\; \equiv \; (p_1+p_2)\; \pm \;(q_1+q_2)\sqrt{d} \\ (p_1 \pm q_1\sqrt{d})\; - \;(p_2 \pm q_2\sqrt{d})\; \equiv \; (p_1-p_2)\; \pm \;(q_1-q_2)\sqrt{d} \\ (p_1 \pm q_1\sqrt{d}) \; \;(p_2 \pm q_2\sqrt{d})\; \equiv \; (p_1 p_2 + q_1 q_2 d)\; \pm \;(p_1 q_2 +p_2 q_1)\sqrt{d} \\ \dfrac{p_1 \pm q_1 \sqrt{d}}{p_2 \pm q_2 \sqrt{d}}\; \equiv \; \dfrac{p_1 p_2 - q_1 q_2 d}{p_2^2 - q_2^2 d}\; \pm \;\dfrac{p_2 q_1 - p_1 q_2}{p_2^2 - q_2^2 d}\,\sqrt{d} \end{array} \label{eq:5.2.2}\tag{5.2.2} $$ Последнее тождество получается путем устранения иррациональности в знаменателе.

Тождества $\eqref{eq:5.2.2}$ также полезны в несколько ином контексте. Для натурального $d$, не являющегося полным квадратом, рассмотрим множество $\mathbb{Q}\left(\sqrt{d}\right)$ чисел вида $p + q\sqrt{d}$, где $p$ и $q$ — рациональные числа: $$ \mathbb{Q}\left(\sqrt{d}\right) = \{ p + q\sqrt{d} : p \in \mathbb{Q},\; q \in \mathbb{Q} \} \label{eq:5.2.3}\tag{5.2.3} $$

Заметим, что определение $\mathbb{Q}\left(\sqrt{d}\right)$ допускает нулевое значение $q$, поэтому множество $\mathbb{Q}\left(\sqrt{d}\right)$, помимо квадратичных иррациональностей с подкоренным числом $d$, содержит также рациональные числа.

Утверждение 5.2.4 Множество $\mathbb{Q}\left(\sqrt{d}\right)$ замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления на ненулевое число, а также взятия сопряженного.

Для замкнутости относительно арифметических операций достаточно применить тождества $\eqref{eq:5.2.2}$, заменим знак ± знаком +. Замкнутость относительно взятия сопряженного вытекает из утверждения 5.2.3г).

Непосредственно из утверждения 5.2.4 следует:

Утверждение 5.2.5 Сумма, разность, произведение и частное двух квадратичных иррациональностей с одинаковым подкоренным числом является либо рациональным числом, либо квадратичной иррациональностью с тем же подкоренным числом.

Утверждение 5.2.6 Если $\alpha$ — квадратичная иррациональность, то числа $-\alpha$, $\frac{1}{\alpha}$, $-\frac{1}{\alpha}$ являются квадратичными иррациональностями с тем же подкоренным числом.

Доказательство. Если $\alpha$ — квадратичная иррациональность с подкоренным числом $d$, то $\alpha \in \mathbb{Q}\left(\sqrt{d}\right)$. Поскольку рациональные числа 0 и 1 принадлежат $\mathbb{Q}\left(\sqrt{d}\right)$, числа $-\alpha$, $\frac{1}{\alpha}$, $-\frac{1}{\alpha}$ также принадлежат $\mathbb{Q}\left(\sqrt{d}\right)$. С другой стороны, согласно утверждению 4.1.1, каждое из этих чисел иррационально.

Приведенные квадратичные иррациональности.

В теории цепных дробей (каковыми нам предстоит заняться в дальнейшем) значительную роль играют приведенные квадратичные иррациональности (англ. reduced [quadratic] surd).

Квадратная иррациональность $\alpha$ называется приведенной, если $$ \begin{cases} \alpha \gt 1 \\ -1 \lt \alpha' \lt 0 \end{cases} \label{eq:5.2.4}\tag{5.2.4} $$ (Напомню, что $\alpha'$ — число, сопряженное с $\alpha$.)

Согласно утверждению 5.2.2 числа $\alpha$ и $\alpha'$ — корни некоторого трехчлена, и чтобы не вводить новые обозначения, будем использовать P(x) определенный в $\eqref{eq:5.2.1}$ (снова обращаю внимание на знаки коэффициентов). Так как из неравенств $\eqref{eq:5.2.4}$ следует $\alpha \gt 0 \gt \alpha'$, то $$ \begin{array}{l} \alpha = \dfrac{b + \sqrt{d}}{2a} \\ \alpha' = \dfrac{b - \sqrt{d}}{2a}\,, \end{array} \label{eq:5.2.5}\tag{5.2.5} $$ где $d=b^2+4ac$.

Также из $\eqref{eq:5.2.4}$ следует, что $\alpha$ и $\alpha'$ имеют разные знаки, поэтому $\alpha \alpha' \gt 0$, следовательно $c = - \alpha \alpha'$ положительно. Кроме того, $\alpha + \alpha' \gt 1 + (-1) = 0$, так что $b = \alpha + \alpha'$ — также положительно. Теперь становится понятным удобство отрицательных знаков в $P(x)$.

На самом деле двойное неравенство в $\eqref{eq:5.2.4}$ можно заменить одинарным:

Утверждение 5.2.7 Квадратная иррациональность $\alpha$ является приведенной, тогда и только тогда, когда $$ \begin{cases} \alpha \gt 1 \\ -\dfrac{1}{\alpha'} \gt 1 \end{cases} \label{eq:5.2.6}\tag{5.2.6} $$

Первые неравенства в $\eqref{eq:5.2.4}$ и $\eqref{eq:5.2.6}$ совпадают. Докажем эквивалентность вторых неравенств.

Если $-1 \lt \alpha' \lt 0$, то при делении на отрицательное число $\alpha'$ знаки неравенств меняются на противоположные получаем: $\frac{-1}{\alpha'} \gt 1 \gt 0$, причем второе неравенство можно отбросить, как тождественное.

Наоборот, из $-\frac{1}{\alpha'} \gt 1$ следует, что $(-\alpha)$ положительно, так что $\alpha$ отрицательно. Пишем $-\frac{1}{\alpha'} \gt 1 \gt 0$ и умножаем на отрицательное число $\alpha$. Знаки меняются на противоположные и получаем как раз то, что требуется.

В завершение беглого обзора квадратичных иррациональностей, докажем еще одно утверждение:

Утверждение 5.2.8 Пусть $d$ — натуральное число, не являющееся полным квадратом. Множество приведенных квадратичных иррациональностей с покоренным числом $d$ — конечное и непустое.

Доказательство. Снова обратимся к равенствам $\eqref{eq:5.2.5}$, где, как мы уже знаем, в случае приведенной квадратичной иррациональности не только знаменатель $2a$, но и $b$ — положительны. Из $\alpha' \lt 0$ следует, что $b - \sqrt{d} \lt 0$, так что $0 \lt b \lt \sqrt{d}$, чем доказывается конечность множества возможных $b$ для заданного $d$.

В свою очередь, из $\alpha \gt 1$ и $\alpha' \gt -1$ получаем: $\sqrt{d} - b \lt 2a \lt \sqrt{d} + b$, что показывает конечность множества возможных знаменателей $2a$ для заданного $d$ при выбранном $b$. Тем самым доказана конечность множества приведенных квадратичных иррациональностей для заданного $d$.

Дабы убедиться, что множество непустое, рассмотрим число $\delta = m + \sqrt{d}$, где $m=\left\lfloor \sqrt{d} \right\rfloor$ — целая часть от $\sqrt{d}$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $\sqrt{d}$. (Подробнее о целых числах в этом блоге О целом в дроби и о дроби в целом.). Таким образом $$ m \lt \sqrt{d} \lt m+1 \label{eq:5.2.7}\tag{5.2.7} $$(равенства быть не может, так как $\sqrt{d}$ — иррационально). При этом, ввиду $d \gt 1$, получаем $\sqrt{d} \gt 1$, откуда $m \geqslant 1$. Таким образом, $\delta = m + \sqrt{d} \gt 2$, что даже сильнее, чем требовалось. Кроме того, из $\eqref{eq:5.2.7}$ следует $0 \lt \sqrt{d} - m \lt 1$, откуда $-1 \lt \delta' = m-\sqrt{d} \lt 0$, что окончательно подводит черту под доказательством.

5.3 «Непостижимые»

Ввиду замкнутости алгебраических чисел относительно всех мыслимых операций возникает вопрос о существовании чисел, не являющихся алгебраическими. Такие числа называются трансцендентными от латинского transcendens (буквально «вне-взобравшийся») — непостижимый.

Откуда такое пессимистическое название? Дело в том, что в 1775 году, когда термин был предложен Эйлером, существование трансцендентных чисел было лишь гипотезой. Лишь в 1844 году французский математик Жозеф Лиувилль (Joseph Liouville) не просто доказал существование, а привел пример трансцендентного числа. Открытие Лиувилля основано на следующем факте:

Утверждение 5.3.1 (Теорема Лиувилля) Для любого иррационального алгебраического числа $\gamma$ степени $n$ существует вещественная константа $c$, такая что для любого рационального числа $\frac{p}{q}$ ($p$ — целое, $q$ — натуральное) имеет место неравенство $$ \left|\gamma - \frac{p}{q}\right| \geqslant \frac{c}{q^n} \label{eq:5.3.1}\tag{5.3.1} $$

Доказательство (Источник: ProofWiki).

Дано иррациональное число $\gamma$, являющееся корнем многочлена $n$-й степени с целыми коэффициентами: $$ p(x) = a_0\,x^n + a_1\,x^{n-1} + \dots + a_{n-1}\,x + a_n, \label{eq:5.3.2}\tag{5.3.2} $$ где $a_0 \ne 0$. Требуется найти константу $c$, для которой выполняется неравенство $\eqref{eq:5.3.1}$ для любого рационального $r=\frac{p}{q}$.

Разобьем множество рациональных чисел на три подмножества.

Подмножество 1 Рациональные числа вне или на единичной окрестности числа $\gamma$: $$ |\gamma - r| \geqslant 1 $$:

В этом случае, поскольку $q^n \geqslant 1$ для любого натурального, получаем: $$ \left|\gamma - \frac{p}{q} \right| \geqslant 1 \geqslant \frac{1}{q^n}, $$ так что для выполнения неравенства $\eqref{eq:5.3.1}$, достаточно положить константу равной $c_1 = 1$.

Подмножество 2 Рациональные корни многочлена $|p(x)|$

Пусть $R = \{r_1, r_2 \ldots r_k\}$ — множество рациональных корней $p(x)$. Если это множество пустое (нет рациональных корней), берем $c_2 = c_1 = 1$. Если рациональные корни присутствуют, их может быть не больше $n$, так что $R$ — конечное множество. Пусть $c_2$ — минимум из $|\gamma - r_i|$ ($i = 1,2 \ldots k$). Так как $\gamma$ — иррационально, оно не совпадает ни с одним из $r_i$, поэтому $c_2 \gt 0$. Снова воспользовавшись $q^n \gt 1|$, получаем $$ |\gamma - r_i| \geqslant c_2 \geqslant \frac{c_2}{q^n}, $$

что делает $c_2$ пригодной в качестве константы в неравенстве $\eqref{eq:5.3.1}$.

Наконец, рассмотрим нетривиальный случай.

Подмножество 3 Рациональное число $r = \frac{p}{q}$ ($p$ — целое, $q$ — натуральное) внутри единичной окрестности числа $\gamma$, не являющееся корнем многочлена $p(x)$: $$ |\gamma - r |\lt 1 \label{eq:5.3.3}\tag{5.3.3} \\ p(r) \ne 0 $$

Подставляя $x = r = \frac{p}{q}$ в $\eqref{eq:5.3.2}$ и приводя к общему знаменателю, получаем: $$ p(r) = \frac{a_0\,p_n + a_1\,p_{n-1}q + \dots + a_{n-1}p\,q^{n-1} + a_n\,q^n}{q^n} $$

Числитель правой части — целое число, отличное от нуля (в противном случае $p(r)=0$), поэтому $$ |p(r)| \geqslant \frac{1}{q^n} $$

Поскольку $\gamma$ — корень многочлена, то есть, $p(\gamma) = 0$, последнее неравенство можно записать в виде: $$ |p(r) - p(\gamma)| \geqslant \frac{1}{q^n} \label{eq:5.3.4}\tag{5.3.4} $$

Оценим выражение в левой части $\eqref{eq:5.3.4}$ сверху.

С помощью теоремы о среднем значении (англ. Mean value theorem, другое название «Теорема Лагранжа о конечных приращениях») можно обойти последующие громоздкие выкладки. Используя эту теорему, запишем: $$ p(r)-p(\gamma) = p'(\theta) (r-\gamma), $$ где $\theta$ находится между $r$ и $\gamma$, а потому также лежит внутри единичной окрестности $\gamma$. Заметим, что производная $p'(x)$, как многочлен $(n-1)$-й степени, ограничена в единичной окрестности $\gamma$. Таким образом $$ |p(r) - p(\gamma)| \leqslant m |r-\gamma|, $$ где $m$ — верхняя грань |p'(x)| в единичной окрестности $\gamma$, причем эта граница очевидно не зависит от $r$. Полагая $c_3 = \dfrac{1}{m}$, сразу получаем $\eqref{eq:5.3.8}$.

Прежде всего заметим, что применив хорошо известное тождественное неравенство $|a-b| \geqslant ||a|-|b|| \geqslant |a|-|b|$ к $\eqref{eq:5.3.3}$, получаем $$ 1 \gt |\gamma - r| \geqslant |r| - |\gamma|, $$ откуда $$ |r| \leqslant |\gamma| + 1 \label{eq:5.3.5}\tag{5.3.5} $$

Далее, согласно определению $p(x)$ (равенство $\eqref{eq:5.3.2}$), $$ p(r) - p(\gamma) = a_0(r^n-\gamma^n) + a_1(r^{n-1}-\gamma^{n-1}) + \dots + a_{n-1}(r-\gamma) \label{eq:5.3.6}\tag{5.3.6} $$

Для оценки каждого слагаемого воспользуемся тождеством: $$ a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1}), $$ откуда для $i=1,2 \ldots n$ получаем: $$ \begin{align} |r^i-\gamma^i| & = |r - \gamma|\cdot|r^{i-1} + r^{i-2}\gamma + \dots r\gamma^{i-2} + \gamma^{i-1}| \\ & \leqslant |r - \gamma|\cdot(|r|^{i-1} + |r|^{i-2}\,|\gamma| + \dots |r|\,|\gamma|^{i-2} + |\gamma|^{i-1}) \\ & \leqslant |r - \gamma|\cdot\left[(|\gamma| + 1)^{i-1} + (|\gamma| + 1 )^{i-2}\,|\gamma| + \dots (|\gamma| + 1)\,|\gamma|^{i-2} + |\gamma|^{i-1}\right] \\ & \leqslant |r - \gamma|\cdot i \cdot (|\gamma|+1)^{i-1} \end{align} $$

(Использованы тождественное неравенство $|a+b| \leqslant |a|+|b|$, неравенство $\eqref{eq:5.3.5}$ и возрастание функции $x^k$ при положительном $x$ и натуральном $k$.)

Применение полученного неравенства к $\eqref{eq:5.3.6}$ дает: $$ |p(r) - p(\gamma)| \leqslant |r-\gamma| \left[|a_0| n (|\gamma|+1)^{n-1} + |a_1| (n-1) (|\gamma|+1)^{n-2} + \dots |a_{n-1}| \right] $$

Обозначив выражение, обратное выражению в квадратных скобках через $c_3$ $$ c_3 = \frac{1}{n |a_0|(|\gamma|+1)^{n-1} + (n-1) |a_1| (|\gamma|+1)^{n-2} + \dots |a_{n-1}|}, \label{eq:5.3.7}\tag{5.3.7} $$

получаем $$ |p(r) - p(\gamma)| \leqslant \frac{|r-\gamma|}{c_{3}} \label{eq:5.3.8}\tag{5.3.8} $$

Заметим, что $c_3$ положительно и не зависит от $r$, так что является константой при заданном $\gamma$. Сопоставление нижней оценки $|p(r) - p(\gamma)|$ из $\eqref{eq:5.3.4}$ с верхней оценкой того же выражения из $\eqref{eq:5.3.8}$ дает: $$ \frac{|r-\gamma|}{c_3} \geqslant \frac{1}{q^n} $$ или $$ |r-\gamma| \geqslant \frac{c_3}{q^n} $$

Таким образом, $c_3$ подходит в качестве константы для неравенства $\eqref{eq:5.3.1}$

- - -

Было показано, что в каждом из рассмотренных подмножеств нашлись константы $c_1$, $c_2$ и $c_3$, удовлетворяющие неравенству $\eqref{eq:5.3.1}$. Наименьшая из этих констант удовлетворяет неравенству $\eqref{eq:5.3.1}$ при любых рациональных $r = \frac{p}{q}$

Коль скоро теорема Лиувилля доказана, введем следующее определение:

Вещественное число $\alpha$ называется числом Лиувилля если для сколь угодно большого натурального $n$ существует дробное рациональное число $r = \frac{p}{q}$ ($p$ - целое, $q$ - натуральное, большее 1), для которого $$ 0 \lt \left| x-\frac{p}{q} \right| \lt \frac{1}{q^n} \label{eq:5.3.9}\tag{5.3.9} $$

Надеюсь, вы догадались, для чего понадобилось такое определение:

Утверждение 5.3.2 Число Лиувилля трансцендентно.

Вначале покажем, что число Лиувилля иррационально. Пусть, вопреки этому, $\alpha = \frac{a}{b}$, ($a$ — целое, $b$ — натуральное). Выберем $n$ достаточно большим, чтобы выполнялось неравенство $2^n \gt 2b$, или $2^{n-1} \gt b$.

Согласно определению, найдется рациональное число $\frac{p}{q}$ ($p$ - целое, $q$ - натуральное, большее 1), удовлетворяющее неравенству $\eqref{eq:5.3.9}$. Имеем: $$ \left|\alpha - \frac{p}{q} \right| = \left| \frac{a}{b} - \frac{p}{q}\right| = \frac{|aq - bp|}{bq} $$

Заметим, что числитель — целое число, причем, согласно первому неравенству из $\eqref{eq:5.3.9}$, отличен от нуля. Учитывая, что $b \lt 2^{n-1}$ и $q \geqslant 2$, получаем: $$ \left|\alpha - \frac{p}{q} \right| \geqslant \frac{1}{bq} \gt \frac{1}{2^{n-1}} \geqslant \frac{1}{q^n}, $$ что противоречит второму неравенству из $\eqref{eq:5.3.9}$. Иррациональность $\alpha$ доказанa.

Теперь можно применить теорему Лиувилля. Пусть $\alpha$ — алгебраическое число степени $n$, и $c$ - константа из теоремы Лиувилля. Выберем натуральное $k$ достаточно большим, чтобы выполнялось неравенство $2^k \gt \frac{1}{c}$. По определению числа Лиувилля, найдутся целые числа $p$ и $q$, где $q \gt 1$, удовлетворяющие неравенству $$ |x-\frac{p}{q}| \lt \frac{1}{q^{n+k}} $$ В таком случае, учитывая $q \geqslant 2$: $$ \left|\alpha - \frac{p}{q}\right| \lt \frac{1}{q^n\,q^k} \leqslant \frac{1}{q^n\,2^k} \lt \frac{c}{q^n}, $$ что противоречит неравенству $\eqref{eq:5.3.1}$. Это завершает доказательство трансцендентности числа Лиувилля.

Осталась самая малость: указать число, подходящее под определение числа Лиувилля. Вот оно (константа Лиувилля): $$ L = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10^2} + \frac{1}{10^6} + \frac{1}{10^{24}} + \dots + \dfrac{1}{10^{n!}} + \dfrac{1}{10^{(n+1)!}} + \dots \label{eq:5.3.10}\tag{5.3.10} $$ или в виде десятичной дроби: 0,1100010000000000000000010…, где единицы стоят в позициях факториалов: 1,2,6,24,120…

Доказать? — Pas de problème!. Покажем, что сумма первых $n$ слагаемых: $$ \frac{p_n}{q_n} = \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{10^{n!}} \qquad n=1,2,\dots \label{eq:5.3.11}\tag{5.3.11} $$ есть именно то, что мы ищем, то есть: $$ \left|L - \frac{p_n}{q_n}\right| = \frac{1}{10^{(n+1)!}} +\frac{1}{10^{(n+2)!}} \dots \lt \frac{1}{q_n^n}. $$

Прежде всего обратим внимание на то, что $q_n = 10^{n!}$, поэтому больше 1, тогда как $p=10M+1$, где $M$ - некоторое целое число, так что дробь $\frac{p_n}{q_n}$ - несократима.

Далее, поскольку $$ \frac{10^{(k+1)!}}{10^{k!}} = 10^{(k+1)! - k!} = 10^{k!k} \geqslant 10 \gt 2 $$ каждое последующее слагаемое более чем в два раза меньше предыдущего. Это дает возможность оценить сверху бесконечную сумму, снова используя многократно выручавшую нас геометрическую прогрессию: $$ \left|L - \frac{p_n}{q_n}\right| \lt \frac{1}{10^{(n+1)!}} \left(1+\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots\right) $$

Так как сумма в скобках равна двум, а $10^{(n+1)!} = (10^{n!})^{n+1} = q_n^{n+1} \geqslant 2q_n^n $, то $$ \left|L - \frac{p_n}{q_n}\right| \lt \frac{1}{q_n^{n}} $$ чем завершается доказательство.

Понятно, что основание 10 можно заменить любым натуральным числом, бо́льшим единицы. Так, под константой Лиувилля часто имеют в виду двоичную константу Лиувилля, которая, как, вы конечно догадались, есть не что иное, как такая же дробь 0,1100010000000000000000010…, но в двоичной системе счисления: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{n!}} + \dots$.

Если очень постараться (как это сделано в Википедии) можно доказать, что число будет оставаться числом Лиувилля, если заменить единицы другими цифрами, причем не обязательно одинаковыми, коль скоро среди цифр присутствует бесконечное множество ненулевых, так как иначе сумма станет рациональной. Таким образом приходим к числам вида $$ \frac{a_1}{b} + \frac{a_2}{b^2} + \dots + \frac{a_n}{b^{n!}} + \dots, $$ где $b$ — натуральное число, большее 1, а последовательность $a_1, a_2, \ldots$ состоит из целых положительных чисел, каждое из которых меньше $b$, при этом содержит бесконечное количество ненулевых членов. Каждая из таких сумм есть число Лиувилля.

5.4 Алгебраические операции над не только алгебраическими числами.

Замкнутость множества алгебраических чисел относительно арифметических операций позволяет сформулировать свойства операций между алгебраическим и трансцендентным числом, очень похожие на сформулированные в утверждении 4.1.1.

Утверждение 5.4.1 Пусть $a$ — алгебраическое число, а число $\beta$ — трансцендентное. Тогда следующие числа трансцендентны:

а) $a + \beta$,

б) $a - \beta$,

При этом, если $a \ne 0$, трансцендентны также

в) $a\cdot\beta$,

г) $a : \beta$,

д) $\beta : a$,

Кроме того, если $k$ — натуральное число, то трансцендентны:

е) $\sqrt[k]{\beta}$

ж) $\beta^k$

Как видим, присутствует свойство 5.4.1ж, не имеющее аналога в операциях над иррациональными числами. Это свойство, вытекающее из замкнутости множества алгебраических чисел относительно операции извлечения корня целой степени, способно сделать доказательство трансцендентности более простым, чем доказательство иррациональности

Рассмотрим это на примере тригонометрических функций, следующие свойства которых известны каждому школьнику: $$ \begin{array}{l} \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \\ tg^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 \end{array} $$

Если $\sin \alpha$ — иррациональное число, то $\sin^2 \alpha$ может оказаться рациональным. Поэтому $\cos^2 \alpha$ а вместе с ним и $\cos \alpha$ могут быть также рациональными. За примером далеко ходить не надо: $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - иррационально, тогда как $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ — рационально.

Другое дело трансцендентность. Если $\sin \alpha$ — трансцендентное число, то, на основании 5.4.1ж, $\sin^2 \alpha$ — также трансцендентно, откуда в силу 5.4.1б) и 5.4.1е) следует трансцендентность $\cos{\alpha}$. Трансцендентность $tg\;\alpha$ вытекает из второго тригонометрического равенства, после чего доказать трансцендентность $ctg\; \alpha$, $\sec \alpha$ и $cosec\;\alpha$ не составляет труда. Наоборот, если $\sin \alpha$ — алгебраическое число, то, в силу замкнутости множества алгебраических чисел, значения остальных тригонометрических функций для данного аргумента также алгебраические. Таким образом приходим к следующему заключению:

Утверждение 5.4.2 Значения всех тригонометрических функций заданного аргумента являются либо одновременно алгебраическими, либо одновременно трансцендентными.

Заметим, что утверждение 5.4.1 оставляет много белых пятен, как например трансцендентность суммы, разности и произведения двух трансцендентных чисел.

К счастью, вопрос о трансцендентности $\pi$ и $e$ а также значений целого ряда широко используемых функций с не только рациональным, но даже алгебраическим аргументом был окончательно решен в 1882 году немецким математиком Фердинандом Линдеманном (Carl Louis Ferdinand von Lindemann). В 1885 году теорема была обобщена вездесущим Карлом Вейерштрассом и получила название теоремы Линденманна - Вейерштрасса, однако в пределах данной публикации достаточно ограничиться результатом Линденманна:

Утверждение 5.4.3 (Теорема Линденманна) Для любого алгебраического $\alpha$, отличного от нуля, число $e^{\alpha}$ является трансцендентным.

Отсюда сразу вытекает трансцендентность числа $e$, полученная незадолго до этого (1873 год) всё тем же Шарлем Эрмитом, доказавшим трансцендентность $e^x$ для рациональных $x$. Однако Линденманн, распространив результат Эрмита на алгебраические числа, доказал его применимость к степеням с мнимым показателем, тем самым сумев впервые доказать трансцендентность числа $\pi$.

Вот как это делается. Если число $\pi$ – алгебраическое, то также алгебраическим является число $\pi i$ ($i$ — мнимая единица). Таким образом, согласно теореме Линденманна, число $e^{\pi i}$ должно быть трансцендентным. Однако еще Эйлер указал, что $e^{\pi i} = -1$, так что $\pi$ алгебраическим быть не может.

Исходя из теоремы Линденманна не составляет труда доказать следующее утверждение:

Утверждение 5.4.4 Значение натурального логарифма от положительного алгебраического числа является трансцендентным числом. (Напомню, что натуральным называется логарифм по основанию $е$. Для такого логарифма используется обозначение $\ln$.)

Доказательство. Пусть $a$ — алгебраическое число, а $\beta = \ln a$. Таким образом $a = e^{\beta}$. Если $\beta$ — алгебраическое число, то согласно теореме Линденманна, число $a$ должно быть трансцендентным, что противоречит условию. Поэтому $\beta$ — трансцендентное число.

Перейдем к тригонометрическим функциям:

Утверждение 5.4.5 Значения тригонометрических функций от алгебраического числа, отличного от нуля, являются трансцендентными числами.

Доказательство. Если $a$ — алгебраическое число, отличное от нуля, то таким же является $ai$ ($i$ — мнимая единица). В таком случае число $e^{ai} = \cos a + i\sin a$ должно быть трансцендентным. Это означает, что либо его действительная часть ($\cos a$), либо его мнимая часть ($\sin a$) должна быть трансцендентным числом. В таком случае, согласно утверждению 5.4.2, значения всех тригонометрических функций трансцендентны.

Пришло время вернуться к степеням с иррациональным основанием и/или показателем (глава 4.3) и взглянуть на них под «трансцендентным» углом.

Из равенств $$ \alpha^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{\alpha} \qquad \alpha^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{\alpha}} $$ ($\alpha$ - вещественное положительное, $m$ и $n$ – натуральные) становится понятным, что из трансцендентности положительного числа следует, что его рациональная степень трансцендентна, а следовательно иррациональна. В частности из трансцендентности $\pi$ и $e$ следует трансцендентность и иррациональность любой рациональной (в частности целой) степени этих чисел.

Случай иррациональной степени для XIX века оказался крепким орешком. В 1900 году, в своей вступительной речи в на II-м математическом конгрессе в Париже, немецкий математик Давид Гильберт (David Hilbert) сформулировал ряд важных проблем, оставленных в наследство грядущему столетию. В целом XX век оправдал надежды ученого, так как 16 из 23 проблем были решены.

Почин Гильберта был поддержан спустя сто лет, когда Математический институт Клэя (CMI - Clay Mathematics Institute) объявил список Задачи тысячелетия (Millenium Problems), состоящий из семи нерешенных проблем, за каждую из которых была обещана премия в миллион долларов США. Одна из задач, известная под названием гипотеза Пуанкаре (Poincaré conjecture) была решена в 2003 году российским математиком Григорием Перельманом, который, однако, от премии отказался. Другой список из 18 нерешенных задач, включающий гипотезу Пуанкаре и некоторые до сих пор нерешенные проблемы Гильберта, был составлен в 1998 году американским математиком Стивеном Смейлом (Stephen Smale). Некоторые из задач Смейла уже решены полностью или частично.

Среди проблем Гильберта под номером 7 значится следующая: Является ли $a^b$ трансцендентным, если $a$ – алгебраическое число, отличное от нуля и единицы, $b$ – алгебраическое иррациональное число? В силу такой простой формулировки было бы досадно, если бы задача не была решена в XX веке. Но она оказалась среди шестнадцати, имевших счастливый конец!

В 1930 году советский математик Родион Осиевич Кузьмин в этой статье доказал трансцендентность $a^b$, если $a$ — алгебраическое число, а $b$ — вещественная квадратичная иррациональность. Отсюда в частности следует трансцендентность и иррациональность $\sqrt{2}^\sqrt{2}$, а также $2^\sqrt{2}$, даже рациональность которого, как отмечает Кузьмин, до его публикации оставалась под вопросом. В 1934 году проблема окончательно решена другим советским ученым Александром Осиповичем Гельфондом и независимо от него немецким математиком Теодором Шнайдером (Theodor Schneider).

Утверждение 5.4.6 (Теорема Гельфонда-Шнайдера) Если $a$ — алгебраическое число, отличное от нуля и единицы, $b$ — иррациональное алгебраическое число, то $a^b$ — трансцендентное число.

Заметим, что, как показывает пример $(\sqrt{2}^\sqrt{2})^{^{\sqrt{2}}} = 3^{log_3{2}} = 2$, требование, чтобы $a$ и $b$ были алгебраическими является существенным: в приведенном примере, либо основание, либо показатель не является алгебраическим, и результат — целое число. Пример $(\sqrt{2})^2 = 2$ показывает существенность требования иррациональности показателя степени.

Кроме решения вопроса о трансцендентности чисел $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ и $2^\sqrt{2}$ (число $2^\sqrt{2}$ называется числом Гельфонда-Шнайдера), теорема позволяет доказать трансцендентность логарифмов, основание которых — алгебраическое число. Заметим, что гипотеза о трансцендентности иррационального $\log_a{b}$ для натуральных $a$ и $b$ ($a \ne 1$) была выдвинута Эйлером еще в 1744 году, но понадобилось почти два столетия, чтобы она была доказана.

Утверждение 5.4.7 Пусть $a$ и $b$ — положительные алгебраические числа, причем $a \ne 1$. Тогда $\log_a{b}$ либо рациональное, либо трансцендентное.

В самом деле, если $c = \log_a{b}$ — алгебраическое иррациональное, то, согласно теореме Гельфонда-Шнайдера, число $b = a^c$ должно быть трансцендентным, что противоречит условию.

Отсюда в частности следует, что если $a$ и $b$ — положительные алгебраические числа (в частности рациональные или целые), причем $a \ne 1$, то иррациональность любой целой степени $\log_a{b}$ совпадает с иррациональностью самого логарифма.

Другим результатом теоремы Гельфонда-Шнайдера является трансцендентность $e^\pi$ (число Гельфонда). Достаточно заметить, что ($i$ – мнимая единица) $$ e^\pi = (e^{\pi i})^{-i} = (-1)^{-i} $$ и так как (-1) - алгебраическое число, в то время как $(-i)$ – алгебраическое иррациональное, результат — трансцендентное число.

Отсюда в свою очередь следует трансцендентность числа $$ i^i = \left(e^\frac{\pi i}{2}\right)^{i} = e^{-\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e^\pi}} $$

5.5. Мера иррациональности.

Пусть задано вещественное число $\alpha$. Для некоторого вещественного положительного показателя степени $\xi$ (который может быть иррациональным) обозначим через $M_\xi(\alpha)$ множество дробей $\frac{p}{q}$ ($p$ — целое, $q$ - натуральное), удовлетворяющих неравенству $$ 0 \lt \left|\alpha - \frac{p}{q}\right| \lt \frac{1}{q^\xi}. \label{eq:5.5.1}\tag{5.5.1} $$

Другими словами: $$ M_\xi(\alpha) = \left\{ \frac{p}{q} : \quad p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{Z^+},\; \quad 0 \lt \left|\alpha - \frac{p}{q}\right| \lt \frac{1}{q^\xi} \right\} \label{eq:5.5.2}\tag{5.5.2}$$

Так как $q \geqslant 1$, то из $\psi \lt \xi$ следует и $q^\psi \leqslant q^\xi$, то есть $\frac{1}{q^\xi} \leqslant \frac{1}{q^\psi}$. Таким образом, любое $\frac{p}{q}$, принадлежащее $M_\xi(\alpha)$ принадлежит также $M_\psi(\alpha)$, то есть $M_\xi(\alpha) \subseteq M_\psi(\alpha)$ при $\psi \lt \xi$.

Сказанное означает, что если $M_\xi(\alpha)$ — бесконечно, оно останется бесконечным при уменьшении $\xi$, однако если $\xi$ увеличивать, то может наступить такое мгновенье, когда $M_xi(\alpha)$ станет конечным и будет оставаться конечным при дальнейшем увеличении $\xi$. Произнесем же, подобно доктору Фаусту, магическую фразу „Verweile doch, du bist so schön!” и введем следующее определение:

Мерой иррациональности $\mu(\alpha)$ вещественного числа $\alpha$ (анг. irrationality measure, также irrationality exponent — показатель иррациональности) называется точная верхняя грань множества чисел $\xi$, для которых существует бесконечное множество дробей $\frac{p}{q}$ ($p$ — целое, $q$ - натуральное), удовлетворяющих неравенству $\eqref{eq:5.5.1}$.

Эквивалентное определение: Мерой иррациональности $\mu(\alpha)$ вещественного числа $\alpha$ называется точная нижняя грань множества чисел $\xi$, для которых лишь конечное множество дробей $\frac{p}{q}$ ($p$ — целое, $q$ - натуральное) удовлетворяет неравенству $\eqref{eq:5.5.1}$.

Другими словами $m = \mu(\alpha)$ тогда и только тогда, когда множество $М_\xi(\alpha)$ бесконечно при $\xi \lt m$ и конечно при $\xi \gt m$. Что же касается der schönste Augenblick, то $M_{\mu(\alpha)}(\alpha)$ может быть как конечным, так и бесконечным, в зависимости от того, достижимо это мгновенье, или остается заветной целью, к которой можно подойти как угодно близко, но никогда не достичь.

На всякий случай напомню (хотя это совершенно очевидно), что пустое множество является конечным.

Прикройте рукой последующие абзацы и постарайтесь угадать, чему равна мера рациональности рационального числа. Могу поспорить, что если не с первой, то со второй попытки вы наверняка угадаете! 😉

Мера иррациональности рационального числа

Утверждение 5.5.1 Мера иррациональности рационального числа равна 1.

Доказательство. Дано рациональное число $r$.

Вначале докажем конечность множества $М_\xi(r)$ при $\xi \gt 1$, то есть для любого вещественного $\varepsilon \gt 0$, множество дробей $\frac{p}{q}$ ($p$ — целое, $q$ — натуральное), удовлетворяющих неравенству $$ 0 \lt \left| r - \frac{p}{q} \right| \lt \frac{1}{q^{1+\varepsilon}} \label{eq:5.5.3}\tag{5.5.3}, $$ является конечным.

Прежде всего заметим, что ввиду $\frac{1}{q^{1+\varepsilon}} \leqslant \frac{1}{q} \leqslant 1$, из неравенства что если $\left| r - \frac{p}{q} \right| \geqslant 1$, сразу следует неравенство $\eqref{eq:5.5.3}$ независимо от значения знаменателя $q$. Таким образом имеет смысл рассматривать только числа в единичной окрестности $\frac{a}{b}$, не совпадающие с самим числом: $$ 0 \lt \left| r - \frac{p}{q} \right| \lt 1 \label{eq:5.5.4}\tag{5.5.4} $$

Полагая $r = \frac{a}{b}$ ($a$ — целое, $b$ — натуральное), получаем: $$ \left |r - \frac{p}{q} \right| = \left |\frac{a}{b} - \frac{p}{q} \right| = \frac{|aq-bp|}{bq} \geqslant \frac{1}{bq} $$

Если выбрать натуральное $k$ таким образом, что $k \gt b^{\frac{1}{\varepsilon}}$ (что всегда возможно), то при $q \geqslant k$, имеем $b \lt k^{\varepsilon} \leqslant q^{\varepsilon}$, так что $$ \left |r - \frac{p}{q} \right| \geqslant \frac{1}{bq} \gt \frac{1}{q^{1+\varepsilon}}. $$

Таким образом, неравенству $\eqref{eq:5.5.3}$ удовлетворяют только дроби с знаменателем меньшим $k$, а множество таких знаменателей конечно. Далее, из второго неравенства в $\eqref{eq:5.5.4}$, получаем: $$ q(r - 1) \lt p \lt q(r + 1), $$ откуда следует конечность множества числителей для выбранного знаменателя $q$. Там самым доказана конечность множества $M_{1+\varepsilon}(r)$, то есть конечноать $M_\xi(r)$ при $\xi \gt 1$.

Перейдем ко второму действию и покажем, что $M_{1-\varepsilon}(r)$ — бесконечно при любом положительном $\varepsilon$.

Дроби со знаменателем $q$ разбивают числовую ось на промежутки длиной $\frac{1}{q}$, так что $r$ принадлежит одному из таких промежутков: $\left[\dfrac{s}{q}, \dfrac{s+1}{q}\right]$, причем хотя бы один из концов промежутка отличен от $r$. Обозначая этот конец через $\frac{p}{q}$, получаем: $$ 0 \lt \left|r - \frac{p}{q}\right| \leqslant \frac{1}{q} \lt \frac{1}{q^{1-\varepsilon}} $$

Таким образом получили бесконечное множество дробей $\frac{p}{q}$, удовлетворяющих неравенству $\eqref{eq:5.5.1}$ при $\xi = 1-\varepsilon$, что показывает бесконечность $M_\xi(r)$ при $\xi \lt 1$ и завершает доказательство утверждения 5.5.1.

Заметим, что $М_1(r)$ является пустым, если $r$ — целое число, поскольку для любого знаменателя $q$ целое число $r$ лежит либо на границе, либо вне промежутка $\left[\frac{p}{q}, \frac{p+1}{q}\right]$, так что либо $r = \frac{p}{q}$, либо $\left|r - \frac{p}{q}\right| \geqslant \frac{1}{q}$, причем то и другое недопустимо. Наоборот, если $r$ — дробное рациональное, то $r = \frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — целые взаимно простые числа, причем $b \geqslant 2$. В этом случае при любом знаменателе $q$, не кратном $b$ (а при $b \geqslant 2$ таких знаменателей бесконечное множество) число $r = \frac{a}{b}$ попадает вовнутрь интервала $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{p+1}{q}\right)$, откуда следует $0 \lt \left|r - \frac{p}{q}\right| \lt \frac{1}{q}$. Поэтому для дробного рационального $r$ множество $M_1(r)$ — бесконечно. Хорошая иллюстрация сказанного про конечность $М_{\mu(\alpha)}(\alpha)$.

Нижняя оценка меры иррациональности иррационального числа

Пусть теперь $\alpha$ иррационально. Вспомним теорему Дирихле о приближениях. Формулу 2.3.1 можно переписать в виде $$ \left|\alpha - \frac{p}{q}\right| \lt \frac{1}{nq} $$ и поскольку ввиду иррациональности $\alpha$ левая часть отлична от нуля, а кроме того $n \geqslant q$, то $$ 0 \lt \left|\alpha - \frac{p}{q}\right| \lt \frac{1}{q^2}, $$ а это точь-в-точь $\eqref{eq:5.5.1}$ для $\xi=2$.

Правда, теорема Дирихле утверждает существование одной пары ($p$, $q$), а нам нужно бесконечное множество.

К счастью, это легко поправить. Берем целое число $n_1$ таким образом, что $$ n_1 \gt \frac{1}{\left|\alpha - \frac{p}{q}\right|} $$

По теореме Дирихле существует дробь $\frac{p_1}{q_1}$, где $q_1 \leqslant n_1$, причем $$ \left|\alpha - \frac{p_1}{q_1}\right| \lt \frac{1}{n_1q_1}, $$

При этом, поскольку $q_1 \geqslant 1$, то $$ \left|\alpha - \frac{p_1}{q_1}\right| \lt \frac{1}{n_1} \lt \left|\alpha - \frac{p}{q}\right|, $$ следовательно дроби $\frac{p_1}{q_1}$ и $\frac{p}{q}$ — различные. С другой стороны, из $n_1 \geqslant q_1$ следует $$ \left|\alpha - \frac{p_1}{q_1}\right| \lt \frac{1}{q_1^2} $$

Повторяя процесс получаем бесконечную последовательность различных дробей $\frac{p}{q}, \frac{p_1}{q_1}, \frac{p_2}{q_2} \dots$ таких что $$ 0 \lt \left|\alpha - \frac{p_i}{q_i}\right| \lt \frac{1}{q_i^2} $$

Таким образом доказана бесконечность множества $M_2(\alpha)$, откуда следует, что число меньшее 2 не годится в качестве $\mu(\alpha)$. Другими словами:

Утверждение 5.5.2 Мера иррациональности иррационального числа не меньше 2.

Отсюда в частности следует:

Утверждение 5.5.3 Число является рациональным тогда и только тогда, когда его мера иррациональности равна 1.

Точные и оценочные значения меры иррациональности

К сожалению точное значение меры иррациональности удается вычислить далеко не всегда, однако для алгебраических чисел ее значение известно благодаря полученным в разное время результатам Акселя Туэ (Axel Thue - 1909), Карла Зигеля (Carl Ludwig Siegel - 1921) и Клауса Рота (Klaus Roth - 1955).

Утверждение 5.5.4 (Теорема Туэ — Зигеля — Рота) Мера иррациональности алгебраического иррационального числа равна 2.

Вы наверное ожидаете, что мера иррациональности трансцендентных чисел больше 2, но, увы, это не так. Известно, что $\mu(e) = 2$, хотя число $e$ трансцендентное. Некоторые другие трансцендентные величины удалось только оценить сверху, поэтому не исключено, что их мера иррациональности также равна 2. Вот некоторые оценки, известные на данный момент (источник: Wolfram MathWorld):

Константа	Верхняя граница	Автор
$\pi$	7.6063	Владислав Салихов (2008)
$\pi^2$	5.441243	Georges Rhin & Carlo Viola (1996)
$\ln 2$	3.57455391	Raffaele Marcovecchio (2009)
$\ln 3$	5.125	Владислав Салихов (2007)

Есть еще одна категория чисел, мера иррациональности которых точно известна. Это знакомые нам числа Лиувилля. Непосредственно из определения чисел Лиувилля (равенство $\eqref{eq:5.3.9}$) следует, что если $\alpha$ – число Лиувилля, то для любого $\xi$ имеется бесконечное множество чисел $\frac{p}{q}$, удовлетворяющих неравенству $\eqref{eq:5.5.1}$. Таким образом, мера иррациональности чисел Лиувилля равна $+\infty$. Существование чисел Лиувилля доказывает, что мера иррациональности может превысить 2.

6. И снова о цепных дробях

6.1 Старые знакомые

В главе 6.2 публикации «О самых обыкновенных дробях» рассматривалось представление рационального числа в виде цепной дроби. (Другое название: непрерывная дробь — англ. continued fraction.) Для удобства предлагаю своего рода конспект упомянутой главы, копируя определения и результаты, однако опуская подробности и доказательства.

Конечной цепной дробью называется дробь вида $$ \alpha = a_0 + \cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+ \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_{n-1}} }}} \label{eq:6.1.1}\tag{6.1.1} $$ где $a_0$ — целое число, $a_1,\;a_2,\;\dots\;a_{n-1}$ — целые положительные числа. Такую дробь мы будем компактно записывать с помошью квадратных скобок $[a_0;a_1,a_2, \dots a_{n-1}]$, используя точку с запятой (;) после целой части $a_0$ и запятые (,) для отделения элементов дробной части друг от друга. При этом общее количество элементов (включая целую часть) называют длиной цепной дроби.

$i$-м остатком (англ. remainder) цепной дроби называется ее знаменатель, начинающийся с $a_i$: $$ \beta_i = a_i + \cfrac{1}{a_{i+1}+\cfrac{1}{a_{i+2}+ \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_{n-1}} }}} \label{eq:6.1.2}\tag{6.1.2} $$

Остаток цепной дроби также является цепной дробью, а именно: $\beta_i = [a_i; a_{i+1} \dots a_{n-1}]$, причем нулевой остаток — это вся дробь: $\beta_0 = \alpha$.

Каждый остаток можно выразить через последующий: $$ \beta_i = a_i + \frac{1}{\beta_{i+1}}\,, \label{eq:6.1.3}\tag{6.1.3} $$ при этом каждый элемент дроби — целая часть соответствующего остатка: $$ a_i = \lfloor \beta_i \rfloor\,, \label{eq:6.1.4}\tag{6.1.4} $$ что дает возможность выразить последующий остаток через предыдущий $$ \beta_{i+1} = \frac{1}{\beta_i - a_i} = \frac{1}{\beta_i - \lfloor \beta_i \rfloor} \label{eq:6.1.5}\tag{6.1.5} $$

Отсюда следует алгоритм перевода в цепную дробь: $$ \begin{array}{l} \beta_0 = \alpha \\ a_i = \lfloor \beta_i \rfloor \\ \beta_{i+1} = \dfrac{1}{\beta_i - a_i} \end{array} \label{eq:6.1.6}\tag{6.1.6} $$

при этом алгоритм заканчивается, как только $\beta_i$ — целое число, которое становится последним элементом цепной дроби: $a_{n-1} = \beta_{n-1}$.

Из приведенного алгоритма и свойства целой части следуют:

Утверждение 6.1.1. Свойства остатков цепной дроби:

а) все $\beta_i$, кроме последнего - дробные числа;

б) $a_i \leqslant b_i \lt a_i+1$, причем равенство имеет место только для последнего элемента;

в) $b_i \gt 1$ при $i \gt 0$

Утверждение 6.1.2 Всякая конечная цепная дробь соответствует рациональному числу. Наоборот, всякое рациональное число однозначно представимо в виде конечной цепной дроби, последний элемент которой, при наличии не менее двух элементов, отличен от единицы.

Требование $a_{n-1} \ne 1$ при $n \geqslant 2$ необходимо потому, что для любого целого $p$ имеет место равенство $p = (p-1) + \frac{1}{1}$. Таким образом значение цепной дроби $[a_0;a_1, \dots a_{n-1}]$ равно значению дроби $[a_0;a_1 \dots (a_{n-1}-1), 1]$, что создает неоднозначность. Цепная дробь [1] состоящая только из целой части — единственный случай, когда единица допускается в конце дроби.

В некотором смысле антиподом $i$-му остатку является $i$-й заголовок (также подходящая дробь, англ. convergent).

$i$-м заголовком цепной дроби называется цепная дробь, получаемая отбрасыванием всех элементов после $i$-го: $$ \gamma_i = [a_0; a_1 \dots a_i]\quad i=1,2 \dots n. \label{eq:6.1.7}\tag{6.1.7} $$

Длина $i$ - го заголовка равна $i+1$. Значением каждого из заголовков является дробь, дающая $i$-е приближение цепной дроби. Числитель и знаменатель $i$-го приближения можно вычислить, используя формулы Эйлера.

Утверждение 6.1.3 (Формулы Эйлера) Пусть заголовок $\gamma_i = \frac{p_i}{q_i}$, где $p_i$ и $q_i$ — взаимно-простые целые числа, причем $q \gt 0$. Тогда $p_i$ и $q_i$ удовлетворяют следующим соотношениям: $$ \begin{array}{lll} p_{-1} = 1, & p_0 = a_0, & p_{i} = a_i\,p_{i-1} + p_{i-2} \quad \text{при} \quad i \geqslant 1 \\ q_{-1} = 0, & q_0 = 1, & q_{i} = a_i\,q_{i-1} + q_{i-2} \quad \text{при} \quad i \geqslant 1 \,. \end{array} $$

Из формул Эйлера вытекают

Утверждение 6.1.4. Свойства заголовков цепной дроби

а) знаменатели $q_i$ положительны при $i\geqslant 0$ и образуют монотонно-неубывающую последовательность, которая становится монотонно возрастающей при отбрасывании $q_0$;

б) $\gamma_i - \gamma_{i-1} = \dfrac{(-1)^{i-1}}{q_i\,q_{i-1}} \qquad i \geqslant 1$;

в) $\gamma_i - \gamma_{i-2} = \dfrac{(-1)^i\;a_i}{q_i\,q_{i-2}} \qquad i \geqslant 2$;

г) $|\alpha - \gamma_i| \lt \dfrac{1}{q_i^2} \qquad i \geqslant 0$.

6.2 Представление иррационального числа цепной дробью.

Поскольку в данной публикации нас прежде всего интересуют иррациональные числа, попробуем применить алгоритм формирования цепной дроби к иррациональному числу. В качестве примера возьмем конечно же $\sqrt{2}$, как самое простое из иррациональных чисел. (Обозначение $\lfloor \dots \rfloor$ используется для целой части числа.) $$ \begin{array}{l} a_0 = \lfloor \alpha \rfloor = \lfloor \sqrt{2} \rfloor = 1 \\ \beta_1 = \frac{1}{\alpha-a_0} = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2} + 1 \\ a_1 = \lfloor \beta_1 \rfloor = \lfloor \sqrt{2} + 1 \rfloor = 2 \\ \beta_2 = \frac{1}{\beta_1 - a_1} = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2} + 1 \\ a_2 = \lfloor \beta_2 \rfloor = \lfloor \sqrt{2} + 1 \rfloor = 2 \\ \beta_3 = \frac{1}{\beta_2 - a_2} = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2} + 1 \\ \dots \end{array} $$

Как видим, алгоритм применим также к иррациональным числам. При этом он не может быть конечным, так как конечная цепная дробь соответствует рациональному числу. Поэтому, цепная дробь, соответствующая иррациональной дроби является бесконечной. Рассмотренный случай показывает, что $$ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+ \cfrac{1}{\ddots}}} $$ или в компакной записи $\sqrt{2} = [1;2,2 \ldots]$

А вам не кажется, что мы это уже видели? Вспомним геометрическое доказательство иррациональности $\sqrt{2}$ (утверждение 2.2.4). Первый раз отрезок откладывается 1 раз, а все последующие разы — 2 раза, что дает знакомую последовательность. Действительно, если приглядеться к алгоритму формирования цепной дроби, можно заметить, что элементы цепной дроби есть не что иное, как частные алгоритма Евклида. В случае иррациональных чисел алгоритм Евклида бесконечен, вот и получаем бесконечную цепную дробь.

Докажем сходимость дроби. Это значит, что последовательность значений заголовков стремится к заданному числу: $$ \lim\limits_{n \to \infty} \gamma_n = \alpha \label{eq:6.2.1}\tag{6.2.1} $$

Можно заметить, что в доказательстве формул Эйлера длина цепной дроби не используется, поэтому формулы Эйлера применимы также к бесконечной цепной дроби. Далее, так как свойства заголовков цепной дроби (утверждение 6.1.4 основаны исключительно на формулах Эйлера, они также справедливы для бесконечной цепной дроби.

Заметим, что из формул Эйлера и свойства 6.1.4 а) имеем $$ q_0 = 1, \quad q_1 \geqslant 1, \quad q_2 \geqslant 2 \quad \dots \quad q_i \geqslant i $$

Отсюда, согласно свойства 6.1.4 г) $$ 0 \leqslant |\alpha - \gamma_i| \lt \dfrac{1}{q_i^2} \leqslant \dfrac{1}{i^2}, $$ что доказывает сходимость цепной дроби.

Попутно обратим внимание на следующее. При оценке меры иррациональности иррационального числа (утверждение 5.5.2) было доказано существование бесконечного множества рациональных чисел $\frac{p}{q}$, для которых $\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| \lt \frac{1}{q^2}$. Свойство 6.1.4 д) показывает, что в качестве таких чисел могут быть выбраны заголовки цепных дробей. Отсюда следует

Утверждение 6.2.1 Заголовки цепных дробей дают наилучшие возможные приближения чисел, мера иррациональности которых равна 2. Таковыми, например, являются число $e$, а также (согласно теореме Туэ-Зигеля-Рота) все алгебраические иррациональные числа.

Если мера иррациональности больше 2, приближение цепными дробями может не быть наилучшим. Например, наилучшее приближение константы Лиувилля $\eqref{eq:5.3.10}$ осуществляется частичными суммами $\eqref{eq:5.3.11}$.

Заметим (без доказательства), что мера иррациональности любого иррационального числа может быть определена из цепной дроби (источник Wolfram MathWorld: $$ \begin{align} \mu(\alpha) & = 1 + \lim\limits_{n \to \infty} \left(\sup\limits_{m \geqslant n} \frac{q_{m+1}}{q_m}\right) \\ & = 2 + \lim\limits_{n \to \infty} \left(\sup\limits_{m \geqslant n} \frac{a_{m+1}}{q_m}\right), \end{align} \label{eq:6.2.2}\tag{6.2.2} $$ где $a_i$ — элементы периодической дроби, $q_i$ — знаменатели заголовков, обозначение $sup(\ldots)$ используется для точной верхней грани.

Например, для знакомой цепной дроби $\sqrt{2} = [1;2,2 \dots]$ имеем: $\sup\limits_{m \geqslant n} \frac{a_{m+1}}{q_m} = \frac{2}{q_n} \leqslant \frac{2}{n}$, так что $\mu(\sqrt{2}) = 2 + \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2}{q_n} = 2$. В случае трансцендентного числа общую формулу для элементов цепной дроби или для знаменателей заголовков, как правило, найти не удается, чем объясняется обилие белых пятен в отношении меры иррациональности.

Но вернемся к соответствию между иррациональными числами и бесконечными цепными дробями и покажем, что такое соответствие является взаимно однозначным.

Пусть дана бесконечная цепная дробь $[a_0; a_1, a_2 \dots]$, заголовки которой $\gamma_0, \gamma_1, \dots$. Докажем ее сходимость.

Заметим, доказательства свойств 6.1.4а), 6.1.4б) и 6.1.4в) не опираются на сходимость дроби, поэтому это свойства можно использовать.

Из свойства 6.1.4в) следует, что значение $\gamma_i - \gamma_{i-2}$ является положительным при четном $i$ и отрицательным при нечетном $i$. Это значит, что заголовки с четными индексами образуют монотонно-возрастающую последовательность $\{\gamma_{2k}\}$, тогда как заголовки с нечетными индексами образуют монотонно-убывающую последовательность $\{\gamma_{2k+1}\}$.

Пусть $А$ и $B$ множества заголовков с четными и нечетными индексами соответственно. Докажем, что любой элемент множества $A$ меньше любого элемента множества $B$: $$ \gamma_{2i} \lt \gamma_{2j+1}\qquad i,j = 0,1,\dots \label{eq:6.2.3}\tag{6.2.3} $$

Заметим, что из свойства 6.1.4б) путем подстановки $i=2k+1$ получаем, что $\gamma_{2k+1}-\gamma_{2k}$ положительно, откуда сразу следует $\eqref{eq:6.2.3}$ при $i=j$. Если $i \gt j$, то из монотонного убывания $\{\gamma_{2k+1}\}$ заключаем, что $\gamma_{2i} \lt \gamma_{2i+1} \lt \gamma_{2j+1}$, тогда как при $i \lt j$, воспользуясь монотонным возрастанием $\{\gamma_{2k}\}$, получим $\gamma_{2j+1} \gt \gamma_{2j} \gt \gamma_{2i}$, так что в любом случае утверждение $\eqref{eq:6.2.3}$ имеет место.

Таким образом к множествам $А$ и $B$ применима аксиома полноты, утверждающая существование вещественного числа $\alpha$, удовлетворяющего неравенству $$ \gamma_{2i} \leqslant \alpha \leqslant \gamma_{2j+1} \qquad i,j = 0,1,\dots \label{eq:6.2.4}\tag{6.2.4} $$

Заметим, что поскольку последовательности $\{\gamma_{2k+1}\}$ и $\{\gamma_{2k+1}\}$ являются строго монотонными, ни один из заголовков не может иметь величину, равную $\alpha$. Таким образом оба неравенства в $\eqref{eq:6.2.4}$ являются строгими.

Так как последовательные номера $(n-1)$ и $n$ имеют разную четность, значение $\alpha$ должно быть между $\gamma_{n-1}$ и $\gamma_n$. Поэтому, независимо от четности $n$, учитывая свойство 6.3.1б), имеем $$ 0 \lt |\alpha - \gamma_{n-1} | \lt |\gamma_n - \gamma_{n-1}| \lt \frac{1}{q_n q_{n-1}} \lt \frac{1}{q_{n-1}^2} \label{eq:6.2.5}\tag{6.2.5} $$

Это показывает, что мера иррациональности числа $\alpha$ не меньше 2, поэтому $\alpha$ иррационально. С другой стороны, ввиду свойства 6.3.1а), знаменатель в правой части $\eqref{eq:6.2.5}$ может быть сколь угодно большим. Это означает, что $\alpha = \lim\limits_{n \to \infty} \gamma_n$, то есть цепная дробь $[a_0; a_1, a_2 \ldots]$ сходится к иррациональному числу.

Из единственности предела следует, что $\alpha$ — единственное число, удовлетворяющее $\eqref{eq:6.2.4}$, так что соответствие между иррациональными числами и бесконечными цепными дробями является взаимно однозначным.

Настало время подытожить сказанное в этой главе.

Утверждение 6.2.2 Каждому иррациональному числу соответствует единственная бесконечная цепная дробь и наоборот, каждой бесконечной цепной дроби соответствует единственное иррациональное число. Иррациональное число является пределом значений заголовков соответствующей цепной дроби.

6.3 Периодические цепные дроби.

Вы конечно обратили внимание на то, что в цепной дроби $[1;2,2 \dots]$, соответствующей $\sqrt{2}$, число 2 повторяется бесконечное количество раз. По аналогии с цепными дробями, число, или несколько идущих подряд чисел, повторяющихся бесконечное количество раз называют периодом цепной дроби а саму дробь периодической.

В отличие от десятичных дробей, период цепных дробей состоит не из цифр, а из чисел. Количество чисел, образующих период, называется длиной периода. При записи периодической дроби мы будем период заключать в круглые скобки. Как показывает пример $\sqrt{2}$, период может начинаться не сразу. Заголовок цепной дроби, предшествующий периоду будем называть предпериодом. Так, $\sqrt{2} = [1;(2)]$, a в общем случае цепная дробь с длиной периода $p$ и длиной предпериода $k$ имеет вид $[a_0; a_1 \dots a_{k-1}, b_1, b_2 \dots b_p, b_1, b_2, \ldots b_p \dots]$, или в более компактной записи $[a_0; a_1 \ldots a_{k-1}, (b_1 \ldots b_p)]$.

Дробь $\tau = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ на первый взгляд кажется более сложной, чем пресловутое $\sqrt{2}$, поэтому довольно неожиданным является результат ее разложения в цепную дробь: $$ a_0 = \lfloor \tau \rfloor = \left\lfloor \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right\rfloor = 1 \\ \beta_1 = \frac{1}{\tau - a_0} = \frac{2}{\sqrt{5}-1} = \frac{\sqrt{5}+1}{2} $$

Теперь понятно, в чем состоит сюрприз. Самый первый остаток $\beta_1$ оказался равным самой дроби, так что все последующие операции будут повторяться, поэтому период состоит из одних единиц и начинается сразу: $\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} = [1;1,1 \ldots] = [(1)]$.

Число $\tau = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ называется золотым сечением (анг. golden ratio или golden cut). Обозначение $\tau$ исходит от греческого τομή (томи́), то есть «порез» или «раздел». Другое обозначение $\varphi$ (в честь древнегреческого скульптора Фи́дия [по-гречески Φειδίας - Фиди́ас]) представляется менее удачным, ввиду частого использования этой буквы в другом контексте($\varphi$-функция Эйлера, угловые величины и т.д.)

Простота цепной дроби далеко не исчерпывает список замечательных свойств золотого сечения. Оно широко используется в архитектуре и искусстве: пропорции картин, скульптур, строений, а также их отдельных элементов. Встречается золотое сечение и в природе: формы кристаллов, листьев, спиралевидных раковин улиток, распределение галактик во Вселенной, отношение частот нот музыкальных аккордов и многое другое.

Обширная и полезная статья о золотом сечении содержится во французском отделе Википедии, где во вступлении содержатся следующие строки (в сокращенном и очень вольном переводе): «В эстетике это воспринимается, как нечто мистическое, ключ к пониманию структуры окружающего мира, его красоты и особенно гармонии, что подтверждается естественными науками, пропорциями человеческого тела а также искусством: живописью архитектурой или музыкой… Наука однако отвергает теории такого рода, как основанные на чрезмерных обобщениях и неточных предположениях.»

Могу сказать совершенно определенно, что лирик, писавший эти строки, мог оказаться физиком, но никак не математиком, так как чувство красоты и гармонии, связанное с золотым сечением, в математике находит наглядное подтверждение: если разделить отрезок на две части в отношении $\tau$, больший из полученных отрезков окажется средним пропорциональным между всем отрезком и меньшим отрезком деления. В самом деле, если $a$ — длина всего отрезка, $b$ — длина большего из отрезков деления, то требование средней пропорциональности записывается в виде $\frac{a}{b} = \frac{b}{a-b}$. Полагая $\tau = \frac{a}{b}$, последнюю пропорцию можно записать в виде $\tau = \frac{1}{\tau-1}$, что приводит к квадратному уравнению $\tau^2 - \tau - 1 = 0$, положительный корень которого — это конечно же $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Еще один пример: равнобедренный треугольник с длиной боковых сторон $a$, длиной основания $b$ и углом при вершине $\frac{\pi}{5}$ или 36° (чертеж справа). Причем здесь золотое сечение, когда даже угол не является золотым? Действительно, в школьном курсе математики «золотыми» считаются лишь углы 30°, 45° и 60°. Однако равнобедренный треугольник с углом 36° при вершине обладает одним поистине золотым свойством: как легко подсчитать, величина углов при основании такого треугольника равна $\frac{2\pi}{5}$ или 72°, то есть точно в два раза больше, чем величина угла при вершине. Поэтому биссектриса $AD$ угла при основании делит $\triangle ABC$ на два равнобедренных треугольника $ABD$ и $ACD$, откуда $|BD| = |AD| = |AC| = b$. Далее $|CD| = |BC| - |BD| = a-b$. Осталось заметить, что из подобия треугольников $ABC$ и $CAD$ следует: $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|AC|}{|CD|}$ или $\frac{a}{b} = \frac{b}{a-b}$, а с таким равенством нам уже посчастливилось встретиться в предыдущем абзаце.

Проведя в $\triangle ABD$ высоту $BD$ (она же медиана), получим $$ \cos \frac{\pi}{5} = \frac{|BE|}{|BC|} = \frac{a}{2b} = \frac{\tau}{2} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}, $$ откуда можно вычислить значения других тригонометрических функций этого угла, в частности: $\sin \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$, $tg \frac{\pi}{5} = \sqrt{5-2\sqrt{5}}$.

Как видим, угол 36° также вправе считаться золотым, ибо значения тригонометрических функций этого угла также выражаются в радикалах и следовательно являются алгебраическими числами

Чисто-периодические цепные дроби

Переполненный эмоциями после такого поистине лирического отступления, возвращаюсь к цепным дробям.

Итак, драгоценнейшее $\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ порождает пример периодической цепной дроби, в которой период наступает сразу, так что предпериод отсутствует. Периодическая цепная дробь с отсутствующим предпериодом называется чисто-периодической.

Чисто-периодическая цепная дробь с длиной периода $n$ имеет вид $$ \alpha = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{\ddots + \cfrac{1}{a_{n-1}+\cfrac{1}{a_0+\cfrac{1}{a_1+\ddots}}}}}, \label{eq:6.3.1}\tag{6.3.1} $$.

Если обычно $a_0$ может быть отрицательным или нулевым, то для чисто-периодической цепной дроби это неприемлимо, поскольку $a_0$ появляется не только в начале, но также в $n$-й позиции, где допускаются только натуральные числа. Отсюда следует, что $a_0 \geqslant 1$. Вспомним, что $a_0$ есть целая часть числа $\alpha$ и любого заголовка $\frac{p_i}{q_i}= [a_0;a_1 \dots a_{i-1}]$, причем $i$-й заголовок при $i \gt 0$ имеет ненулевую дробную часть. Поэтому $$ \begin{array}{l} p_0 \geqslant q_0 \\ p_i \gt q_i \quad \text{при} \quad i \geqslant 1 \end{array}\label{eq:6.3.2a}\tag{6.3.2a} $$ а также $$ \alpha \gt 1 \label{eq:6.3.2b}\tag{6.3.2b} $$

¡Vamos adelante! Знаменатели заголовков $q_i\; (i=0,1,2,\dots)$ положительны и, согласно свойству 6.1.4а, образуют монотонно-неубывающую последовательность, которая монотонно-возрастает начиная с $q_1$: $$ 1 = q_0 \leqslant q_1 \lt q_2 \ldots \label{eq:6.3.2c}\tag{6.3.2c} $$

Для числителей $p_i$ аналогичное утверждение в общем случае неверно, однако если $a_0 \geqslant 1$, то, как следует из формул Эйлера, числители положительны и образуют монотонно-неубывающую последовательность, которая монотонно-возрастает начиная с $p_0$: $$ 1 = p_{-1} \leqslant p_0 \lt p_1 \lt p_2 \ldots \label{eq:6.3.2d}\tag{6.3.2d} $$

Приглядевшись к $\eqref{eq:6.3.1}$ можно заметить, что $n$-й остаток (а также другие остатки с номером, кратным $n$) совпадает с $\alpha$.

В частности, если длина периода $n=1$, то $\alpha = \beta_1$, или $$ \alpha = a_0 + \frac{1}{\alpha}\,, $$ что можно записать в виде квадратного уравнения: $$ \alpha^2 - a_0\alpha - 1 = 0, \label{eq:6.3.3}\tag{6.3.3} $$ Отбрасывая отрицательный корень, получаем $\alpha = \dfrac{a_0+ \sqrt{a_0^2+4}}{2}$. В частности, подстановка $a_0 = 1$ дает знакомое $\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}$.

В случае чисто-периодической цепной дроби с произвольной длиной периода $n$ из $\alpha = \beta_n$ следует: $$ \alpha = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{\ddots + \cfrac{1}{a_{n-1}+\cfrac{1}{\alpha}}}}, $$ или: $$ \alpha = [a_0; a_1 \dots a_{n-1}, \alpha]. \label{eq:6.3.4}\tag{6.3.4} $$

Есть вопросы? У меня есть. Как так получилось, что дробь стала конечной? Увы, опять нет ответа и снова приходится разбираться самому. Дело в том, что все элементы цепной дроби должны быть целыми числами, тогда как последний элемент цепной дроби в правой части $\eqref{eq:6.3.4}$ уж явно не похож на целое число.

А если набраться наглости и применить формулы Эйлера? Но это ведь явный обман! А вот и нет, ведь при выводе формул Эйлера нигде не использовался тот факт, что элементы цепной дроби — целые числа! Возможно кому-то такое объяснение не покажется убедительным, так что придется аппелировать к сходимости, предельному переходу, чем в таком лирическом настроении явно не хочется заниматься. А почему бы не схитрить, авось никто и не заметит!

Итак, с покрасневшими от стыда щеками используя $\alpha$ в качестве $a_n$, пишу: $$ \begin{array}{l} p_{n} = \alpha\,p_{n-1} + p_{n-2} \\ q_{n} = \alpha\,q_{n-1} + q_{n-2}\,, \end{array} $$ где $p_i$ и $q_i$ — числитель и знаменатель соответствующих заголовков.

Поскольку последний заголовок конечной дроби совпадает со всей дробью (в этот момент мои щеки стали пунцовыми от стыда), получаем: $$ \alpha = \frac{p_n}{q_n} = \frac{\alpha\,p_{n-1} + p_{n-2}}{\alpha\,q_{n-1} + q_{n-2}} $$ или $$ q_{n-1} \alpha^2 - (p_{n-1} - q_{n-2})\alpha - p_{n-2} = 0 \label{eq:6.3.5}\tag{6.3.5} $$

Пришло время пожинать плоды запрещенного приема! Оказывается $\alpha$ — корень квадратного трехчлена с целыми коэффициентами. Вспомним, что на самом деле $\alpha$ представляется бесконечной дробью, а потому обязано быть иррациональным числом. Стало быть, $\alpha$ — алгебраическое число степени 2, или, говоря по-простому, квадратичная иррациональность.

В действительности примененный здесь метод является стандартным приемом. Объяснение справедливости такого подхода можно найти, например, в книге C.D.Olds Continued Fractions, Random House 1963, стр. 71. Другие авторы, например А.Я Хинчин «Цепные дроби» ГИФМЛ M. 1960, допускают любые положительные вещественные числа в качестве элементов цепной дроби ($a_0$ — вещественное число, которое может быть отрицательным), а цепные дроби с целочисленными элементами именуют простыми цепными дробями. Разумеется, в случае «сложных» цепных дробей отсутствует однозначность представления, однако формулы Эйлера по-прежнему имеют место.

Присмотримся к многочлену в левой части $\eqref{eq:6.3.5}$. Так как $n \geqslant 1$, то ввиду $\eqref{eq:6.3.2c}$ и $\eqref{eq:6.3.2d}$, числа $a = q_{n-1}$ и $c = p_{n-2}$ — положительные. Кроме того, из $\eqref{eq:6.3.2a}$ и $\eqref{eq:6.3.2c}$, получаем: $p_{n-1} \geqslant q_{n-1} \geqslant q_{n-2}$, однако при $n \ne 1$ первое, а при $n \ne 2$ второе неравенство является строгим, так что $b = p_{n-1}-q_{n-2}$ также положительно. С помощью введенных обозначений $a$, $b$ и $c$, каждое из которых — целое и положительное (то есть натуральное) находим, что $\alpha$ — корень многочлена $P(x) = ax^2 - bx - c$, определенного в главе 5.2 (равенство $\eqref{eq:5.2.1}$).

Поскольку в данном случае $a$, $b$ и $c$ — положительны, значение $d=b^2+4ac$ всегда положительно, так что корни существуют и различны. Более того, из $D \gt b^2$ и следует $\sqrt{D} \gt b$. Это означает, что первый корень многочлена $\alpha = \dfrac{b+\sqrt{D}}{2a}$ заведомо положителен, а второй корень $\beta = \dfrac{b-\sqrt{D}}{2a}$ заведомо отрицателен. Впрочем, это вполне логично: поскольку значение цепной дроби положительно, положительный корень у многочлена обязан быть, с другой стороны, второй корень не может быть положительным, так как это противоречило бы однозначности представления числа в виде цепной дроби. Кроме того, это наблюдение позволяет «определиться со знаками»: Теперь мы точно знаем, что $\alpha = \dfrac{b + \sqrt{d}}{2a}$, тогда как второй корень $\alpha' = \dfrac{b - \sqrt{d}}{2a}$ (напоминаю, что $\alpha'$ — число, сопряженное к $\alpha$).

В действительности, корни многочлена можно оценить точнее. Вначале заметим, что $$ a - b \lt c \lt a+b, \label{eq:6.3.6}\tag{6.3.6} $$ поскольку из определения $a$, $b$ $c$, а также из неравенств $\eqref{eq:6.3.2a}$, $\eqref{eq:6.3.2c}$ и $\eqref{eq:6.3.2d}$ сделует: $$ c + b - a = p_{n-2} + (p_{n-1} - q_{n-2}) - q_{n-1} = (p_{n-1} - q_{n-1}) + (p_{n-2} - q_{n-2}) \gt 0 \\ a + b - c = q_{n-1} + (p_{n-1} - q_{n-2}) - p_{n-2} = (p_{n-1} - p_{n-2}) + (q_{n-1} - q_{n-2}) \gt 0 $$

Умножив неравенство $\eqref{eq:6.3.6}$ на $4a$ и прибавив $b^2$, получим: $$ 4a^2 - 4ab + b^2 \lt b^2 + 4ac \lt 4a^2 + 4ab + b^2, $$ откуда, извлекая квадратный корень и учитывая $Z \leqslant |Z|$, получаем: $$ 2a - b \lt \sqrt{D} \lt 2a+b $$ что эквивалентно следующим неравенствам: $$ \begin{array}{l} b + \sqrt{D} \gt 2a \\ b - \sqrt{D} \gt -2a \end{array}, $$ что в свою очередь влечет $$ \begin{cases} \alpha = \dfrac{b+\sqrt{D}}{2a} \gt 1 \\ -1 \lt \alpha' = \dfrac{b-\sqrt{D}}{2a} \lt 0 \end{cases} $$

Впрочем, первое из полученных неравенств — это в точности $\eqref{eq:6.3.2b}$ и его вывод «окольным» путем — лишь демонстрация правильности наших результатов. Зато второе неравенство есть нечно новое Новое ли? Снова пролистав главу 5.2, замечаем, что полученная система неравенств есть не что иное, как $\eqref{eq:5.2.4}$, стало быть $\alpha$ — приведенная квадратичная иррациональность.

На всякой случай проверим для дробей с периодом 1. Согласно утверждению 5.2.7, для этого достаточно убедиться, что как $\alpha$, так и $-\frac{1}{\alpha'}$ больше 1. Имеем: $$ \begin{array}{l} \alpha = \dfrac{a_0 + \sqrt{a_0^2 + 4}}{2} \gt \dfrac{2a_0}{2} \quad \Rightarrow \quad \alpha \gt 1 \\ -\dfrac{1}{\alpha'} = \dfrac{2}{\sqrt{a_0^2 + 4} - a_0} = - \dfrac{a_0 + \sqrt{a_0^2+4}}{2} = \alpha \gt 1 \end{array} $$ Belissimo!

Если также удастся доказать утверждение в обратную сторону, то получим следующее:

Утверждение 6.3.1 Число $\alpha$ представляется бесконечной чисто-периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда $\alpha$ — приведенная квадратичная иррациональность.

Этот результат получен 17-летним Эваристом Галуа (Évariste Galois), необычайно талантливым французским романтиком, погибшем на дуэли в возрасте 20 лет. Гораздо более значительным результатом являются поля Галуа, дающие помимо всего прочего критерий разрешимости уравнения 5-й степени в радикалах. Предлагаемый здесь результат — всего лишь мелкий штрих в его короткой но насыщенной биографии.

Поскольку необходимость уже доказана, остается доказать достаточность, а именно: бесконечная цепная дробь, соответствующая приведенной иррациональности (слово «квадратичная» для краткости будем опускать) является чисто-периодической..

Предварительно отметим следующий вспомогательный результат:

Лемма. Если $\alpha$ — приведенная иррациональность, то все остатки соответствующей цепной дроби является приведенными иррациональностями с тем же подкоренным числом, что и $\alpha$.

Идея: «C.D.Olds Continued Fractions. Random House, 1963», стр 102. В целом книга — неплохая, однако не могу избавиться от впечатления, что доказательство этой леммы писалось «под газом». Мало того, что полторы страницы печатного текста потрачено на то, что можно доказать в нескольких строчках. Некоторые доводы, которые автору книги кажутся очевидными, автору этих строк представляются заведомо ложными! Надеюсь, то что приведено ниже, лишено указанных недостатков.

Доказательство леммы. Пусть $\alpha$ — приведенная иррациональность с подкоренным числом $d$, $\beta_1$ — первый остаток ценой дроби для $\alpha$.

Как следует из $\eqref{eq:6.1.5}$, $$ \beta_1 = \frac{1}{\beta_0 - m_0} = \frac{1}{\alpha - m_0}, $$ где $m_0 = \lfloor \alpha \rfloor$. (Поскольку греческое $\alpha$ и латинское $a$ при печати выглядят очень похоже, используется $m_0$ вместо $a_0$.)

Поскольку $\alpha$ — иррационально, и $m_0$ — целое, остаток $\beta_1$ — иррациональное число, поэтому согласно утверждению 5.2.5, $\beta_1$ — квадратичная иррациональность с подкоренным числом $d$.

Покажем, что $\beta_1$ — приведенная иррациональность. Ввиду свойства 6.1.1в достаточно доказать, что $0 \lt \beta_1' \lt 1$, что, ввиду утверждения 5.2.7 эквивалентно $-\frac{1}{\beta_1'} \gt 1$.

Учитывая свойства сопряженных чисел, получаем: $$ -\frac{1}{\beta'} = \left( -\frac{1}{\beta_1} \right)' = m_0 - \alpha' $$

Настало время вспомнить, что $\alpha$ — приведенная иррациональность, поэтому, во-первых, $\alpha \gt 1$, откуда $m_0 = \lfloor \alpha \rfloor \geqslant 1$, a во-вторых $\alpha' \lt 0$, так что $-\frac{1}{\beta_1'} \gt m_0$, следовательно $-\frac{1}{\beta_1'} \gt 1$, то есть именно то, к чему мы стремились.

Поскольку $\beta_1$ — приведенная иррациональность с подкоренным числом $d$, к нему применимы те же рассуждения, что и к $\alpha$. Таким образом, $\beta_2$ — также приведенная иррациональность с подкоренным числом $d$ и т.д.

Любопытно, что при доказательстве леммы нигде не использовалось неравенство $\alpha' \gt -1$. Может оно действительно не существенно? Давайте проверим. Положим $\alpha = \sqrt{2}$. Поскольку $\alpha' = -\sqrt{2} \lt -1$, число $\sqrt{2}$, будучи квадратичной иррациональностью, не является является приведенной иррациональностью. Найдем первый остаток: $\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{1+\sqrt{2}}$, и, как легко проверить, $\beta_1 = 1 + \sqrt{2}$ — действительно приведенная иррациональность. Однако, если вспомнить, что $\sqrt{2} = [1;(2)]$, все становится на свои места. Дело в том, что $m_0 = \lfloor \alpha \rfloor$ вовсе не обязано соответствовать периоду остатка $\beta_1$, и если соответствия нет, $m_0$ образует предпериод длиной 1. Таким образом приходим к выводу, который, несмотря на очевидность, обойден вниманием в тех источниках, с которыми пришлось иметь дело: Пусть $\alpha$ — квадратичная иррациональность, такая что $\alpha \gt 1$ и $\alpha' \lt 0$. Если при этом $\alpha' \gt -1$, цепная дробь, соответствующая $\alpha$ является чисто-периодической, в противном длина предпериода цепной дроби равна 1.

Обратимся теперь к доказательству достаточности утверждения 6.3.1.

Источник тот же, только стр. 106. К счастью, на этой странице все в порядке.

Ввиду доказанной леммы, все остатки — приведенные иррациональности с одинаковым подкоренным выражением, а между тем, согласно утверждению 5.2.8, таких чисел конечное множество. Это означает, что в какой-то момент остаток повторится, так что все последующие остатки (а следовательно и элементы) цепной дроби будут повторять предыдущие. Таким образом периодичность дроби доказана.

Этим можно было бы удовлетвориться, однако не в данном случае. Ведь нужна не просто периодическая, а чисто-периодическая дробь! Вот и покажем, что именно с такой дробью мы имеем честь иметь дело.

Пусть $n$ — индекс самого раннего повторяемого остатка. Это значит, что $\beta_k = \beta_n$ для некоторого $k \gt n$, тогда как предыдущие остатки $\beta_0 \ldots \beta_{n-1}$ (если, конечно, такие существуют) могут повторяться не ранее, чем в $(k+1)$-й позиции.

Если $n \gt 0$, то согласно $\eqref{eq:6.1.5}$ (опять используем $a_i$ в качестве элементов, так как «накладка» здесь не грозит) $$ \beta_n = \frac{1}{\beta_{n-1} - a_{n-1}} \qquad \beta_k = \frac{1}{\beta_{k-1} - a_{k-1}} $$

Отсюда, снова учитывая свойства сопряженных чисел, получаем: $$ -\frac{1}{\beta_n'} = a_{n-1} + (- \beta_{n-1}') \qquad -\frac{1}{\beta_k'} = a_{k-1} + (- \beta_{k-1}') \label{eq:6.3.7}\tag{6.3.7} $$

Зачем понадобились круглые скобки в правые частях равенств $\eqref{eq:6.3.7}$? Дело в том, что как вы конечно не забыли, все $\beta_i$ — приведенные иррациональности. Отсюда $-1 \lt \beta_i \lt 0$ и следовательно $0 \lt -\beta_i \lt 1$ для всех $i$, поэтому выражения в круглых скобках прекрасно подходят в качестве дробных частей. А если вдобавок вспомнить, что первые слагаемые $a_{n-1}$ и $a_{n-1}$ — целые числа, то уже не остается никаких сомнений: $$ a_{n-1} = \left\lfloor - \frac{1}{\beta_n'} \right\rfloor \qquad a_{k-1} = \left\lfloor -\frac{1}{\beta_k'} \right\rfloor $$

Но позвольте, ведь по предположению $\beta_n = \beta_k$, поэтому $-\frac{1}{\beta_n'} = -\frac{1}{\beta_k'}$, а равные числа имеют одинаковые целые части: $$ a_{n-1} = a_{k-1} \label{eq:6.3.8}\tag{6.3.8} $$

Забудьте все предшествующие выкладки — они нужны были лишь для доказательства $\eqref{eq:6.3.8}$, которое свидетельствует о том, что в правых частях $$ \beta_{n-1} = a_{n-1} + \frac{1}{\beta_n} \qquad \beta_{k-1} = a_{k-1} + \frac{1}{\beta_k} $$ совпадают не только вторые, по и первые слагаемые. Таким образом $\beta_{n-1} = \beta_{k-1}$.

Что же получилось? Мы предположили, что $\beta_{n}$ — самый ранний из повторяемых остатков, но оказалось, что предыдущий остаток $\beta_{n-1}$ повторяется в позиции $k-1$, предшествующей $k$. Избежать этот nonsense можно только одним путем: согласиться с тем, что $\beta_{n-1}$ не существует, то есть $n=0$. В этом случае период начинается с нулевого элемента, так что дробь — чисто-периодическая.

Не знаю как доказывал сам Галуа, но это доказательство, на мой взгляд, заслуживает бурных оваций.

Периодические цепные дроби общего вида

В случае, если периодическая цепная дробь имеет предпериод длиной $k$, ее можно записать в виде $$ \alpha = [a_0; a_1 \ldots a_{k-1}, \beta_k]\, $$ где $\beta$ — чисто-периодическая цепная дробь. Применяя знакомый метод (с которым я уже настолько свыкся, что даже щеки перестали краснеть), получаем: $$ \alpha = \frac{\beta_k\,p_{k-1} + p_{k-2}}{\beta_k\,q_{k-1} + q_{k-2}} \label{eq:6.3.9}\tag{6.3.9} $$

Мы уже знаем, что $\beta_k$, будучи чисто-периодической, является квадратичной иррациональностью с некоторым подкоренным числом $d$ (то, что $\beta_k$ — приведеннная иррациональность в данном случае не имеет значения), поэтому оно принадлежит множеству $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$, определенному равенством $\eqref{eq:5.2.3}$. Так как $p_{k-1}$, $p_{k-2}$, $q_{k-1}$, $q_{k-2}$ — целые, а следовательно рациональные, они тоже принадлежат множеству $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$

В силу замкнутости $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ относительно арифметических операций (утверждение 5.2.4), число $\alpha$ также принадлежит $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$. В таком случае, из иррациональности $\alpha$ следует, что — $\alpha$ квадратичная иррациональность.

Итак, снова пришли к квадратичной иррациональности, которая, однако, в силу утверждения 6.3.1, не может быть приведенной.

Прежде чем доказать обратный результат, сформулируем утверждение, связанное с французским математиком итальянского происхождения Жозефом-Луи Лагранжем (фр. Joseph-Louis, compte de Lagrange, ит. Giuseppe Lodovico Lagrangia):

Утверждение 6.3.2 Число представляется бесконечной периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью

Источник все тот же: «C.D.Olds Continued Fractions. Random House, 1963», стр 110. Все было бы прекрасно, если бы не «смазанная» концовка: представьте себе шахматиста, сдающего партию при заведомо выигрышном эндшпиле. Хотя скорее всего автор просто считал, что излишняя строгость затрудняет наглядность. Попытаюсь же достигнуть некоторого компромисса между тем и другим. Доказательство в книге А.Я Хинчин «Цепные дроби» ГИФМЛ M. 1960 стр 63 имеет другую проблему: некоторые формулы даются без промежуточных выкладок («легко непосредственно проверить »). Готов снять шляпу перед полиграфистами, у которых хватило терпения набрать эти формулы, не говоря уже о тех, кому удалось их «легко проверить». Увы, ваш покорный слуга не из их числа. Кстати, готовя эту публикацию, наткнулся на некоторое руководство для преподавателей, написанное уважаемым профессором уважаемого вуза, который, уподобившись упомянутым полиграфистам (или с помощью OCR), терпеливо переписал не только формулы, но и весь текст оригинала в свой шедевр, не потрудившись дать соответствующую ссылку. Как говорят на Украине, «Це жахливо!»

Снова следует доказать только достаточность, то есть что квадратичная иррациональность $\alpha$ всегда представляется периодической дробью.

Если $\alpha$ — приведенная иррациональность, то результат сразу следует из утверждения 6.3.1. В противном случае будем переводить $\alpha$ в цепную дробь, используя алгоритм, заданный формулами $\eqref{eq:6.1.6}$, и как только очередной остаток $\beta_k$ окажется приведенной иррациональностью, дробь станет периодической. Надо лишь показать, что этот счастливый момент обязательно наступит.

Напомним, что свойствo 6.1.1 в) гарантирует выполнение неравенства $\beta_k \gt 1$, поэтому снова все сводится к неравенству $-\frac{1}{\beta_k'} \gt 1$.

В формуле $\eqref{eq:6.3.9}$, перейдем к сопряженным числам: $$ \alpha' = \frac{\beta_k'\,p_{k-1} + p_{k-2}}{\beta_k'\,q_{k-1} + q_{k-2}} $$

Теперь выразим отсюда $\left(-\frac{1}{\beta_k'}\right)$ (эти выкладки действительно нетрудно проверить, говорю на собственном опыте): $$ -\frac{1}{\beta_k'} = \frac{\alpha' q_{k-1} - p_{k-1}}{\alpha' q_{k-2} - p_{k-2}} $$ или $$ -\frac{1}{\beta_k'} = \frac{q_{k-1}}{q_{k-2}} \left(\frac{\alpha' - \frac{p_{k-1}}{q_{k-1}}}{\alpha' - \frac{p_{k-2}}{q_{k-2}}}\right) $$

Чтобы укротить монстра в правой части, вспомним, что $\frac{p_i}{q_i} = \gamma_i$ есть $i$-й заголовок цепной дроби, так что получаем: $$ -\frac{1}{\beta_k'} = \frac{q_{k-1}}{q_{k-2}} \cdot \frac{\alpha' - \gamma_{k-1}}{\alpha' - \gamma_{k-2}} $$

Поскольку из свойства 6.1.4а) следует, что $\frac{q_{k-1}}{q_{k-2}} \geqslant 1$, остается лишь указать $k$, при котором $$ \frac{\alpha' - \gamma_{k-1}}{\alpha' - \gamma_{k-2}} \gt 1 \label{eq:6.3.10}\tag{6.3.10} $$

Заметим, что, ввиду сходимости цепной дроби, $\lim\limits_{n \to \infty} \gamma_n = \alpha$, а, кроме того, из иррациональности $\alpha$ следует $\alpha' \ne \alpha$.

Таким образом для $\varepsilon = |\alpha' - \alpha|$ найдется найдется натуральное $N$, такое что $$ | \alpha - \gamma_n | \lt \varepsilon \quad \text{при} \quad n \gt N. $$

Без ограничения общности $N$ можно считать четным, так как в противном случае вместо $N$ можно использовать $N+1$.

Ввиду $\eqref{eq:6.2.4}$, $$ \alpha-\varepsilon \lt \gamma_{2i} \lt \alpha \lt \gamma_{2j+1} \lt \alpha+\varepsilon \label{eq:6.3.11}\tag{6.3.11} $$при $i \gt \frac{N}{2}$ и $j \gt \frac{N}{2}$ (внутренние неравенства строгие ввиду иррациональности $\alpha$)

Если $\alpha' \gt \alpha$, то $\varepsilon = \alpha' - \alpha$, так что неравенство $\eqref{eq:6.3.11}$ приобретает вид: $$ 2\alpha-\alpha' \lt \gamma_{2i} \lt \alpha \lt \gamma_{2j+1} \lt \alpha'\,, $$ откуда $$ \begin{array}{l} 0 \lt \alpha' - \gamma_{2j+1} \lt \alpha' - \gamma_{2i} \\ \dfrac{\alpha' - \gamma_{2i}}{\alpha' - \gamma_{2j+1}} \gt 1 \qquad i \gt \frac{N}{2}, \quad j \gt \frac{N}{2}. \end{array} $$

В частности $\frac{\alpha' - \gamma_{N+2}}{\alpha' - \gamma_{N+1}} \gt 1$, поэтому неравенство $\eqref{eq:6.3.10}$ выполняется при $k=N+3$.

Если $\alpha' \lt \alpha$, то $\varepsilon = \alpha - \alpha'$, при этом неравенство $\eqref{eq:6.3.11}$ выглядит так: $$ \alpha' \lt \gamma_{2i} \lt \alpha \lt \gamma_{2j+1} \lt 2\alpha - \alpha'\,. $$ В этом случае $$ \begin{array}{l} 0 \lt \gamma_{2i} - \alpha' \lt \gamma_{2j+1} - \alpha' \\ \dfrac{\alpha' - \gamma_{2j+1}}{\alpha' - \gamma_{2i}} \gt 1 \qquad i \gt \frac{N}{2}, \quad j \gt \frac{N}{2}. \end{array} $$

В частности $\frac{\alpha' - \gamma_{N+3}}{\alpha' - \gamma_{N+2}} \gt 1$, поэтому неравенство $\eqref{eq:6.3.10}$ выполняется при $k=N+4$.

Утверждение 6.3.2 доказано.

Задачи

Часть 1.

1.1Существует натуральное число $n$, большее 1, при котором выражение $\sqrt{n\sqrt{n\sqrt{n}}}$ является натуральным числом?

1.2Доказать иррациональность чисел, выраженных следующими десятичными дробями

a) 0,101001000100001… (количество промежуточный нулей увеличивается)
б) 0,123456789101112… (все натуральные числа друг за другом)

1.3$a$ и $b$ — натуральные числа, причем $b$ меньше $a^2$ и не является полным квадратом. При каком условии существуют рациональные положительные числа $u$ и $v$ ($u \gt v$), удовлетворяющие равенству $$ \sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{u} \pm \sqrt{v} \quad ? $$

1.4Пусть $a$ и $b$ — произвольные натуральные числа, $p$ и $q$ — целые числа, каждое из которых отлично от нуля. Сформулируйте необходимое условие для того, чтобы $p\sqrt{a} + q\sqrt{b}$ было рациональным числом, отличным от нуля. В каком случае это условие становится достаточным?

1.5Вычислить $\sqrt{n} + \sqrt{n + 524}$, если известно, что это число рациональное, а $n$ - натуральное.

1.6Доказать что всякий полуинтервал длиной не меньше 1, а также всякий интервал длиной больше 1 содержит целое число.

1.7Доказать, что между двумя различными вещественными числами существует бесконечное множество рациональных чисел.

Часть 2.

2.1Доказать, что:
a) из любых трех иррациональных чисел можно найти два числа, сумма которых иррациональна;
б) из любых шести иррациональных чисел можно найти три числа, все попарные суммы которых иррациональны;

2.2Ненулевые числа $a$ и $b$ удовлетворяют равенству: $$ a^2b^2(a^2b^2 + 4) = 2(a^6 + b^6). $$ Доказать, что хотя бы одно из них иррационально.

2.3Найти вещественные значения $x$, при которых ровно одно из чисел $$ x - \sqrt{2},\quad x-\frac{1}{x}, \quad x + \frac{1}{x} \quad x^2 + 2\sqrt{2} $$ не является целым.

2.4Существует ли сфера, содержащая ровно одну точку, все три декартовы координаты которой рациональны.

2.5Исходя из определения алгебраического числа доказать, что произведение алгебраического числа на рациональное является алгебраическим числом.

2.6Доказать, что существует бесконечное множество рациональных положительных чисел $p$, таких что $\sqrt{p + \sqrt{p}}$ также рационально.

2.7В стране математиков выбрали иррациональное число $\alpha \gt 2$ и выпустили монеты достоинствами в $\alpha^n$ рублей для $n=0,1,2 \dots$. Можно ли выбрать $\alpha$ таким образом, что любую сумму в натуральное количество число рублей можно уплатить этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?

Описание
Часть 1