Чет или нечет

Что может быть проще, чем четность? Даже дошкольники незнакомые с делимостью понимают, что не всякую группу детей можно объединить парами. Поэтому далеко не случайным является существование специального слова для делимости на два, но отсутствие такового для делимости на другие числа. При этом в ряде языков слово «четный» созвучно слову «пара»: (польск. parzysty, фр. pair, исп. par), да и русское «четный» одного корня со словами «чета» или «сочетать», что также связано с парностью. В других языках четность ассоциируется с гладкостью (англ. even, чешск. sudý, нем. gerade), a нечетность с чем-то лишним или посторонним (англ. odd, чешск. lichý), хотя в математике, конечно, нет ничего лишнего!

$0$ ... $1$ ... $2$!

На ноль делить нельзя, зато само число $0$ делится нацело на все другие натуральные числа, имея таким образом бесконечное количество делителей. Наоборот, на $1$ делится нацело все подряд, зато сама единица делится нацело только на себя, поэтому имеет лишь один делитель. Ох уж эти ноль и единица! Так и норовят все запутать. При решении задачи они могут доставить неприятный сюрприз, так как, позабыв об их существовании, можно упустить довольно существенную деталь.

Другие натуральные числа имеют как минимум два, но обязательно конечное количество делителей. Те, которые имеют только два делителя (единицу и само себя) называются простыми, числа, имеющее более двух делителей называются составными. И только ноль и единица являются настолько своеобразными, что не считаются ни простыми, ни составными.

Кстати, никого не удивил то факт, что число $0$ было упомянуто среди натуральных чисел? Ведь утверждают школьные учебники, что натуральные числа — это числа, возникающие в результате счета, тогда как начинать счет с нуля придет в голову разве что программисту на C и подобных ему языках программирования! Однако, вопрос о «натуральности» числа $0$ не имеет однозначного ответа среди математиков. Например, в знаменитой арифметике Джузеппе Пеано, созданной еще в XIX веке, число 0 занимает достойное место среди натуральных чисел, что имеет вполне определенный резон. Автор этих строк предпочитает придерживаться нейтралитета, употребляя бесспорные термины: «целые положительные» или «целые неотрицательные» числа.

Но обратимся к герою нашего повествования, числу 2. Это наименьшее из целых неотрицательных чисел на которое делить можно, причем остаток не всегда равен нулю. Если остаток равен нулю, то число имеет вид $2n$ (здесь и далее буквами обозначаются только целые числа) и называется четным. Если остаток не равен нулю, то ввиду необходимости быть меньше делителя, он обязан быть единицей, поэтому такое число имеет вид $2n+1$ и называется нечетным.

Заметим что $2$ — единственное четное простое число. Другие четные числа делятся на $2$, поэтому они не могут считаться простыми.

Четность суммы

Сумма двух четных чисел является четной: $2m+2n=2(m+n)$. Сумма двух нечетных чисел также является четной: $(2m+1)+(2n+1)=2(m+n+1)$, поскольку единичные остатки как бы компенсируют друг друга. Лишь сумма двух чисел разной четности является нечетной: $2m+(2n+1)=2(m+n)+1$, так как в этом случае единичный остаток не компенсируется. Из сказанного следует, что прибавление четного числа не изменяет четности (так как сохраняет остаток), тогда как прибавление нечетного числа изменяет четность на противоположную, т.е. делает четное число нечетным и наоборот.

Оценим четность суммы нескольких чисел, среди которых могут быть четные и нечетные слагаемые. Так как четные слагаемые не изменяют четности, достаточно узнать четность суммы нечетных слагаемых. Если $m$ — количество таких слагаемых, то

$$ (2n_1+1)+(2n_2+1)+...+(2n_m+1)=2(n_1+n_2+..+n_k)+m $$

Таким образом четность суммы зависит от четности $m$: если $m$ четно, то сумма четна, и наоборот.

Заметим, что четность обладает симметрией: четность числа $a$ совпадает с четностью противоположного числа $-a$. Поэтому четность не изменится, если некоторые слагаемые заменить на противоположные (или, попросту говоря, поменять знак).

Резюмируя сказанное получаем: Четность алгебраической суммы совпадает с четностью количества нечетных слагаемых.

Четность произведения и степени.

С произведением все очевиднее. Достаточно, чтобы среди сомножителей «затесалось» одно четное число $a_i=2n_i$, как результат будет четным: $a_1a_2...a_i...a_k=2a_1a_2...n_i...a_k$. Таким образом, произведение может быть нечетным лишь тогда, кода все сомножители нечетны.

Покажем обратное: произведение нечетных сомножителей нечетно. Для этого воспользуется индукцией по количеству сомножителей. В случае одного нечетного сомножителя он сам является произведением, так что утверждение верно. Допустим утверждение верно для $k$ сомножителей, то есть: $$ (2a_1+1)(2a_2+1)...(2a_k+1) = 2P + 1 $$ где $P$ — целое число. Тогда произведение $k+1$ сомножителей $$ (2a_1+1)(2a_2+1)...(2a_k+1)(2a_{k+1}+1) = (2P+1)(2a_{k+1}+1) = 2(2Pa_{k+1} + P + a_{k+1}) + 1 = 2Q + 1 $$ где $Q=2Pa_{k+1} + P + a_{k+1}$ — целое число. Поэтому произведение $k+1$ сомножителей, также нечетно, что завершает индукционный переход.

Резюмируя сказанное, получаем: Произведение нечетно тогда и только тогда, когда все сомножители — нечетные числа.

Из это следует, что умножение на четное число дает четное число, тогда как умножение на нечетное число не изменяет четность.

В частности четность степени числа (здесь и далее имеется в виду целая положительная степень) совпадает с четностью основания. Кроме того, степень $m$ четного числа делится на $2^m$. Это следует из того, что $\left(2n\right)^m=2^mn^m$.

Рассмотрим степень нечетного числа. Так как $(2k+1)^2=4k(k+1)+1$, квадрат нечетного числа при делении на $4$ дает в остатке $1$, тогда как само число при делении на 4 может давать в остатке либо 1 либо 3. . Более того, поскольку одно из чисел $k$, $k+1$ является четным, число $k(k+1)$ является четным, следовательно $\left(2n+1\right)^2$ дает остаток $1$ при делении на $8$.

Учитывая, что любая четная степень является квадратом: $a^{2n}=\left(a^{2}\right)^n$, приходим к следующему выводу: Четная степень нечетного числа дает остаток 1 при делении на 8.. Другими словами, $(2m+1)^{2n}-1$ делится на 8.

Наконец, рассмотрим нечетную степень нечетного числа и заметим, что при нечетном $a$, остаток от делении $a^{2n+1}$ на 4 или на 8 совпадает с остатком от деления $a$ на 4 или 8 соответственно. Это происходит потому, что $a^{2n+1}-a = a(a^{2n}-1)$  делится на 4 и 8, как было ранее доказано

Четность функций.

Понятие четности применимо также к функциям:

Функция  $f(x)$  называется четной, если для любого вещественного  $x$  справедливо равенство  $f(-x)=f(x)$.

Функция  $f(x)$  называется нечетной, если для любого вещественного  $x$  справедливо равенство  $f(-x)=-f(x)$.

Будем говорить, что функция обладает четностью, если она является либо четной, либо нечетной. Например, функции $y=|x|$  и  $y=x$  обладают четностью, так как первая четна, вторая - нечетна. В то же время функция $y=x+1$ не обладает четностью, так как не является ни четной, ни нечетной.

Чем обусловлено такое на первый взгляд неожиданное определение четности функций? Начнем с вполне очевидного, но заслуживающего упоминания факта:
Произведение ненулевых чисел положительно тогда и только тогда, когда количество отрицательных сомножителей четно.

В частности: $$ (-1)^n=\left\{\begin{matrix} 1,\;если\;n\;\text{четно} \\ -1,\;если\;n\;\text{нечетно} \end{matrix} \right. $$

Отсюда следует, что $$ (-x)^n = (-1)^n\,x^n = \begin{cases} x^n,\;если\;n\;\text{четно} \\ -x^n,\;если\;n\;\text{нечетно}\end{cases} $$

Другими словами, степенная функция $y=x^n$ с целочисленным показателем обладает четностью, совпадающей с четностью показателя. По-видимому определение четности функций навеяно указанным свойством степенной функции.

Практическое использование четности чисел.

Здесь приведены практические примеры использования четности и числа 2. Надеюсь, что этот перечень будет пополняться.

Выбор правильного направления для поиска нужного дома.

Вы вышли из автобуса и оказались на нужной вам улице у дома номер 80. Вам нужен дом номер 88. Следовало бы заметить порядок следования номеров еще в автобусе, но так случилось, что в автобусе вы были заняты чтеним увлекательного бестселлера, либо беседой в соцсетях или с очаровательной попутчицей. Конечно, можно пойти наугад, а потом при необходимости вернуться. Но возвращение — плохая примета, поэтому необходимо идти наверняка. В какую сторону следует идти: по направлению автобуса или против него?

Здесь помогает следующее наблюдение: Если встать так, чтобы с правой стороны были четные номера́, а слева — нечетные, то вы смотрите в сторону возрастания номеров. Таким образом, в нашем случае надо идти по направлению движения автобуса, если конечно идет речь о государстве с правосторонним движением. В Австралии, где движение левостороннее, автобус остановится на левой стороне дороги, поэтому следует идти в обратном направлении.

Система, в которой четные нечетные номера́ находятся по разную сторону от дороги называется Европейской, так как возникла во Франции. Привычка располагать четные номера́ справа по ходу движения по-видимому исходит из привычки писать слева направо, вот и получается, что число 1 помещается слева, число 2 справа и т.д. Хотя возможно это не так: в Израиле, где государственный язык использует запись справа налево, нумерация улиц обычная, однако в Англии, где пишут привычным нам образом слева направо, четные номера́ чаще всего оказываются слева.

Есть примеры обратного расположения (четные номера́ слева) и в странах со общепринятой нумерацией, как например в центре Петербурга, где номера́ домов появились задолго до принятия определенного стандарта, а также в некоторых районах австралийских городов Мельбурн и Сидней. На карте такие улицы как правило оговариваются.

В странах Латинской Америки дома́ нумеруются по аналогии с Европой, но не по порядку а по расстоянию в метрах от начала дороги. Так если дом с номером 10 имеет длину 5 или 6 метров, то следующий дом имеет номер 16.

Карта города Мангейм
Источник: Skyscraper City

Не могу не привести другие примеры нумерации.

Традиционная английская нумерация, бывшая также в ходу в Прусской империи, является «круговой», называемая также бустрофедонской (англ. Boustrophedon numbering) или подковной (нем. Hufeisennummerierung): она идет последовательно (нечетные и четные друг за другом) по левой стороне дороги до конца, после чего продолжается по правой стороне в обратном направлении. В этом есть определенное удобство: можно сразу оценить продолжительность дороги, так как самый маленький и самый большой ее номер оказываются рядом. Однако продолжать такую улицу невозможно, так что приходится для продолжения придумывать новое название (напр. добавлять слово «западный» или «малый»). Такая нумерация сохранилась в центре Лондона для пешеходной улицы Pall Mall а также в центре Берлина и Гамбурга. Ее до сих пор используют в Англии и Австралии для небольших тупиковых ответвлений, которые уж точно никогда не будут продолжаться.

В центральной части города Мангейм (также Манхайм: Manheim) на юго-западе Германии (федеральная земля Баден-Вюртенберг) дома́ адресуются аналогично полям шахматной доски. Например Институт немецкого языка (красный кружок на карте) имеет адрес R5. Бывает так что по данному адресу находится несколько домов или квартир, их указывают дополнительно, например: S6,2

В Чехии и Словаки со времен Богемии сохранилась система конскрипционных номеров (чешск: popisné číslo), где каждому новому дому присваивался очередной номер. Тут даже на карте дом так просто не найдешь! Поэтому наряду с этой используется также обычная европейская адресация.

Нечто похожее бытует в Японии, однако нумерация производится внутри небольшой области микрорайона в порядке застройки или по часовой стрелке. Вот, например, адрес министерства образования, культуры, спорта, науки и технологии Японии в английской транслитерации: 3-2-2 Kasumigaseki, Chiyoda-ku, Tokyo, где Тиёда - район Токио (япон. ku: 区 ), Касумигасеки – микрорайон (япон. chō: 町) внутри района Тиёда, 3 - номер района домов внутри микрорайона (япон. chōme 丁目) 2 – номер блока домов, последнее 2 - номер дома внутри блока. Подробная информация: sci.lang.japan

В усеянном небоскребами городе Доха, столице Катара, улицы хотя и именуются, но дома не нумеруются, в лучшем случае имеют имена. Таким образом для указания адреса в Дохе дается район (область), название улицы, а также (если имеется) название дома. Вот пример адреса (снова в английском варианте): Education Institute. SEC Tower - Aldana area - Doha - Qatar

Дополнителная информация в Википедии.

Почему двоичная система счисления так нравится компьютерам?

Число 2 является наименьшим возможным основанием системы счисления. Этим обоснован выбор двоичной системы счисления для компьютеров. Заметим, что двоичный разряд (называемые битом) может быть представлен любым устройством, способным находиться в одном из двух состояний (напр. «включено» или «выключено»). Кроме того, двоичные разряды прекрасно подходят для логических операций.

До чего все просто в двоичной системе счисления! Там 0 — единственная четная цифра, 1 — единственная нечетная цифра, так как других цифр просто нет! Вы, конечно, знаете, что четность числа совпадает с четностью последней цифры (самого младшего разряда) в десятичной записи числа. Происходит это потому, что всякое число можно записать в виде $a=10b+c$, где $c$ - последняя цифра, a $b$ – число записанное всеми предшествующими цифрами. Так как $10$ – четное число, то $10b$ – также четно, следовательно четности $a$ и $c$ совпадают. Вы, конечно, заметили, что вышеприведенное рассуждение применимо не только к десятичной системе счисления, но и к системе счисления с любым четным основанием. В частности, если речь идет о двоичной системе, то для выяснения четности числа надо лишь выделить последний разряд с помощью операции «логическое И» (другое название: конъюнкция): $a\&1$. Если получаем 0 — число четное, а если 1 — нечетное.

Арифметические операции в двоичной системе счисления также выглядят намного проще, чем в привычной нам десятичной. Например, таблицу умножения запоминать не надо, так как умножение сводится лишь к сложению многократно сдвинутого множимого. (Те, кто пробовал умножать в двоичной системе, понимают, о чем идет речь.) Деление «углом» сводится к сдвигам и вычитаниям.

Может тогда и нам стоит отказаться от десятичной системы в пользу двоичной? Нет, ни за что на свете! Дело не только в многовековой привычке, но и в том, что в двоичной системе числа получаются намного длиннее, чем в десятичной. Представьте себе, что на купюре в 1000 рублей вы вдруг увидите: 1111101000. Тут не сразу сообразишь, много это денег или мало 😲.

ЗАДАЧИ

Вот и наступил момент истины!

Разминка

Те, кто внимательно прочел вышеизложенное (или нашел это слишком тривиальным, чтобы тратить время на чтение) должны дать ответ, почти не раздумывая. Остается надеяться, что он будет правильным.☺

1.1   В несуществующей стране (под названием СССР) использовались денежные купюры в 1 рубль, 3 рубля и 5 рублей. Можно разменять 100 рублей нечетным количеством указанных купюр?

1.2   100 спичек разложили в 19 коробков и на каждом написали количество спичек. Может произведение этих чисел быть нечетным числом?

1.3   Некоторые члены уютной компании обменялись рукопожатиями. Докажите, что количество людей, пожавших нечетное количество рук, четно.

1.4   Число $n$ четно, но не делится на $4$. Может оно быть полным квадратом? А может быть полным квадратом число а)$\,n+1$?    б)$\,n-1$?

1.5   $a$ и $n$ — целые числа, причем $n$ — неотрицательно, $a^n$ — нечетно. Может число $a$ быть четным?

1.6   Можно ли все клетки таблицы $9×2020$ заполнить натуральными числами так, чтобы сумма чисел в любом столбце и сумма чисел в любой строке были бы простыми числами?

1.7   Доказать иррациональность $\sqrt[n]{2}$ для целого $n \geqslant 2$.

1.8   Какая функция является одновременно четной и нечетной?

1.9   Какое из нижеследующих утверждений ошибочно: a) сумма функций, обладающих четностью также обладает четностью; b) произведение функций, обладающих четностью также обладает четностью? Скорректируйте ошибочное утверждение.

На старт!

После небольшой разминки приступим к делу.

2.1   Можно число 2018 представить в виде разности квадратов целых чисел?

2.2   Выписано 2018 последовательных чисел (не обязательно начальных). Каждый раз два произвольных числа заменяются их суммой, отчего количество чисел уменьшается на одно. Это продолжается до тех пор, пока останется одно число. Будет это число четным или нечетным? а) Можно определить четность результата, если вместо сумм использовать разности (число с бо́льшим индексом вычитается из числа с меньшим индексом)? б) А если использовать абсолютные величины разностей?

2.3   Сверхточный прямолинейный робот может двигаться вперед или назад, но не в сторону. При тестировании робота заставляют двигаться сначала на 1см, потом на 2см и т.д, при этом направление движения каждый раз выбирается произвольно. Может ли робот после 2018 движений вернуться в исходное положение?

2.4   Произведение 10 целых чисел равно 1. Доказать, что их сумма не равна нулю.

2.5   Доказать, что $(2m+1)^{2^n}-1$ делится на $2^{n+2}$ ($n \geslant 1$). Примечание: $(2m+1)^{2^n}$ понимается, как $(2m+1)^{(2^n)}$.

2.6   Какими должны быть целые числа $p$ и $q$, чтобы для любого целого $x$ значение $f(x) = x^3+px+q$ было: а) четным? б) нечетным?

Вторая скорость

Чуть больше изобретательности!

3.1   Каждая вершина многоугольника раскрашена в один из двух цветов. Доказать, что количество сторон многоугольника с разноцветными вершинами четно.

3.2   В вершинах куба расставлены числа $1$ и $–1$. В центре каждой грани записано произведение чисел, стоя́щих в вершинах этой грани. Может ли сумма всех чисел (в вершинах и на гранях вместе взятых) равняться нулю?

3.3   Одиннадцать монет лежат решкой вверх. Каждый ход состоит в перевертывании любых 10 монет, причем количество ходов не ограничено. Можно при этом уложить все монеты орлом вверх? А если монет 10, и разрешается переворачивать по 9?

3.4   Пусть $p_n$ — произведение первых n простых чисел. Доказать, что $p_n+1$ не является полным квадратом. À propos, может быть полным квадратом а) $p_n$? б)$p_n$ – 1? Открою секрет: последний вопрос не связан с четностью, точнее с числом 2. Однако рассуждения (хотя и для другого числа) довольно похожи. Примечание. Произведение первых $n$ простых чисел иногда называют праймориалом или примориалом (англ primorial, фр. primorielle), что этимологически представляет собой гремучую смесь prime / premier (простое <число>) с факториалом (произведение первых $n$ натуральных чисел).

3.5   Выписано 2018 последовательных чисел (не обязательно начальных). Каждая пара соседних чисел заменяется их суммой (получаем: $a_1+a_2,\;a_3+a_4$ и т.д.), если последнее число оказалось непарным, оно отбрасывается. Это повторяется до тех пор, пока останется одно число. Будет это число четным или нечетным? а) A если вместо сумм использовать разности? б) А если использовать абсолютные величины разностей?
PS. Разница между этой задачей и задачей 2.2 кажется косметической, зато подход совершенно другой!

3.6   В каждой клетке квадратной таблицы 25×25 записано число +1 или -1. Показать, что сумма произведений чисел каждой строки, сложенная с суммой произведений чисел каждого столбца отлична от нуля.

3.7   Пусть $a_1$, $a_2$, … $a_7$ — целые числа, а $b_1$, $b_2$, … $b_7$ — те же числа, взятые в другом порядке. Доказать, что число $(a_1-b_1) (a_2-b_2) \dots (a_7-b_7)$ четно.

Полный ход!

По-прежнему не считаете это серьезным? Тогда попробуйте еще.

4.1   Найти 8 простых чисел, сумма квадратов которых на 992 меньше, чем их учетверенное произведение.

4.2   Доказать, что из любых $2^{n+1}-1$ целых чисел можно выбрать $2^n$ чисел, сумма которых делится на $2^n$.

4.3   На доске написано несколько нулей, единиц и двоек. Разрешается стереть две неравные цифры и вписать вместо них цифру, отличную от стертых (вместо 0 и 1 — цифру 2, вместо 1 и 2 — 0, вместо 0 и 2 — 1). Докажите, что если в результате таких операций на доске окажется одно число, то оно не зависит от порядка, в котором производились стирания.

4.4   Двое играют в такую игру. На стол кладется 25 спичек. Каждый берёт себе по очереди одну, две или три спички. Игра заканчивается, когда все спички разобраны, Побеждает тот, у кого в конце игры окажется четное количество спичек. Кто выигрывает при правильной игре – начинающий или его партнер? А если для выигрыша требуется взять нечетное количество спичек?

4.5   Вершины 12-угольника занумерованы по порядку числами от 1 до 12 и в каждой из них положено по монете. При этом монета в вершине 1 расположена орлом вверх, а во всех остальных — решкой вверх. Каждый раз разрешается перевернуть одновременно монеты четырех идущих подряд вершин (например, вершин 3, 4, 5, 6 или вершин 11, 12, 1, 2). Доказать, что в результате таких операций невозможно расположить монету в вершине 2 орлом вверх, а во всех остальных — решкой вверх. А если вместо четырех вершин переворачивать другое количество, не превосходящее 12?

Ответы на задачи здесь, однако советую не спешить туда заглядывать.