О целом дроби и о дроби в целом.

Описание и условия задач

Решения задач части 1

Решения задач части 2

Решения задач части 3

Решения задач части 4

 

Целая часть числа (floor)

Как наверное многие знают, целой частью вещественного числа $a$ называется наибольшее целое число, не превосходящее $a$. Целую часть числа мы будем обозначать нижними квадратными скобками $\lfloor a \rfloor$, так как целая часть всегда округляет число в меньшую сторону, то есть вниз. Такое обозначение введено канадским ученым Кеннетом Айверсоном (K.Iverson), который для целой части ввел в употребление термин floor (англ. «пол»), в противоположность функции ceil (англ ceiling - «потолок»), рассмотренной ниже.

Примеры: $\lfloor 5 \rfloor = 5$, $\lfloor 5,8 \rfloor = 5$, $\lfloor 0,3 \rfloor = 0$, $\lfloor -0,3 \rfloor = -1$, $\lfloor -5,8 \rfloor = -6$. Как видим, для неотрицательных чисел достаточно просто отбросить дробную часть. Для отрицательных чисел так не получается, поскольку, отбрасывая дробную часть от например $-5.8$, мы получим число $-5$, превышающее первоначальное число, тогда как, согласно определению, целая часть не может быть больше самого числа.

Для обозначения целой части также используются обычные квадратные скобки $[\text{…}]$, встречаемые еще в трудах короля математиков Карла Фридриха Гаусса (C. Gauß) в начале XIX века. Однако $[...]$ используются также в другом смысле (скобки Айверсона, наименьшее общее кратное, векторное произведение), поэтому многие склоняются к тому, что от использования обычных квадратных скобок для целой части следует отказаться. В старых книгах на русском языке широко используется обозначение Лежандра (A.-M. Legendre) Е(x) от французского entière - целое.

Свойства целой части.

Свойство 1. Для $n = \lfloor a \rfloor$ необходимо и достаточно, чтобы $n$ было целым числом и удовлетворяло неравенству: $n \leqslant a \lt n+1$.

Число $n = \lfloor a \rfloor$, является целым по определению. Неравенство следует из того, что во-первых $n$ не превосходит $a$, а во-вторых, так как $n$ — наибольшее из таких чисел, число $n+1$ обязано быть больше $a$. Наоборот, выполнение неравенства для целого $n$ означает, что $n$ – наибольшее целое число, не превосходящее $a$, то есть $n = \lfloor a \rfloor$.

Неравенство свойства 1 можно записать так:  $\lfloor a \rfloor \leqslant a \lt \lfloor a \rfloor + 1$. Отсюда: $0 \leqslant a - \lfloor a \rfloor \lt 1$,   а также   $a-1 \lt \lfloor a \rfloor \leqslant a$.

Свойство 2. $a=\lfloor a \rfloor$ тогда и только тогда, когда $a$ — целое число.

Если $a=\lfloor a \rfloor$, то, поскольку $\lfloor a \rfloor$ — целое число, то таким же должно быть $a$. Наоборот, если $a$ — целое, то оно подходит под определение собственной целой части.

Свойство 3а. Если $m$ — целое число и $m\;\leqslant\;a$, то $m\;\leqslant\;\lfloor a \rfloor$.

Свойство 3b. Если $m$ — целое число и $m \gt a$, то $m \geqslant \lfloor a \rfloor$ + 1.

Свойство 3a вытекает из максимальности целой части. Свойство 3b следует из неравенства $m \gt a \geqslant \lfloor a \rfloor$.

Свойство 4. Если $a \leqslant b$, то $\lfloor a \rfloor \leqslant \lfloor b \rfloor$. Другими словами, функция $\lfloor x \rfloor$ является монотонно-неубывающей.

Следует из свойства 3a в силу того, что $\lfloor a \rfloor$ — целое число и $\lfloor a \rfloor \leqslant a \leqslant b$.

Поменяв местами $a$  и  $b$, затем прочтя каждое неравенство справа налево, получим: если $a \geqslant b$, то $\lfloor a \rfloor \geqslant \lfloor b \rfloor$

Свойство 5. Если $m$ — целое число, to $\lfloor m + a \rfloor = m + \lfloor a \rfloor $.

Из свойства 1 (необходимость) следует $\lfloor a \rfloor \leqslant a \lt \lfloor a \rfloor+1$. Прибавляя $m$ к каждой части, получаем $m + \lfloor a \rfloor \leqslant m + a \lt (m + \lfloor a \rfloor) +1 $, откуда снова в силу свойства 1 (но достаточности) следует требуемое утверждение.

Свойство 6. $\lfloor a_1 \rfloor + \lfloor a_2 \rfloor + ... + \lfloor a_n \rfloor \leqslant \lfloor a_1 + a_2 + ... + a_n \rfloor \leqslant \lfloor a_1 \rfloor + \lfloor a_2 \rfloor + ... + \lfloor a_n \rfloor + n\;-\;1$ .

Сложив неравенства $\lfloor a_i \rfloor \leqslant a \lt \lfloor a_i \rfloor+1$ для $i$ от $1$ по $n$, получим: $$ \lfloor a_1 \rfloor + \lfloor a_2 \rfloor + ... + \lfloor a_n \rfloor \leqslant a_1 + a_2 + ... + a_n \lt \lfloor a_1 \rfloor + \lfloor a_2 \rfloor + ... + \lfloor a_n \rfloor + n $$

Из левого неравенства согласно свойству 3a вытекает $$ \lfloor a_1 \rfloor + \lfloor a_2 \rfloor + ... + \lfloor a_n \rfloor \leqslant \lfloor a_1 + a_2 + ... + a_n \rfloor $$ тогда как из правого неравества, согласно свойству 3b следует $$ \lfloor a_1 \rfloor + \lfloor a_2 \rfloor + ... + \lfloor a_n \rfloor + n > \lfloor a_1 + a_2 + ... + a_n \rfloor $$ или (поскольку в обоих частях неравенства целые числа) $$ \lfloor a_1 \rfloor + \lfloor a_2 \rfloor + ... + \lfloor a_n \rfloor + n - 1 \geqslant \lfloor a_1 + a_2 + ... + a_n \rfloor $$ что завершает доказательство утверждения.

Свойство 6а. $\lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor \leqslant \lfloor a + b \rfloor \leqslant \lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor +1 $

Частный случай свойства 6 при $n=2$.

Свойство 6b. $n \lfloor a \rfloor \leqslant \lfloor na \rfloor \leqslant n (\lfloor a \rfloor + 1) - 1$

Частный случай свойства 6 при $a_1=a_2=...=a_n=a$.

График функции $\lfloor x \rfloor $

Как видно из чертежа, график функции $y = \lfloor x \rfloor$ состоит из горизонтальных отрезков единичной длины, включая их левые концы (обозначенные темными кружками) но исключая правые концы (обозначенные контурами окружностей, иногда вместо этого используются стрелки, направленные к отсутствующему концу). Функция разрывна для целых значений аргумента. Функция, график которой состоит из горизонтальных отрезков (другими словами, ее область определения можно разбить на отрезки, на каждом из которых функция принимает постоянное значение), называется кусочно-постоянной или ступенчатой.

График функции $y=\lfloor x \rfloor$

Функция «потолок» (ceil)

Кроме целой части», рассматривается (хотя и не так часто) парная функция, округляющая число в бо́льшую сторону, то есть вверх. Такая функция именуется «потолок» (англ ceil, сокращение от ceiling) «Потолком» вещественного числа $a$ называется наименьшее целое число, не меньшее $a$.

Для функции «потолок» используются верхние квадратные скобки: $\lceil...\rceil$. Примеры: $\lceil 5 \rceil = 5$, $\lceil 5,8 \rceil = 6$, $\lceil 0,3 \rceil = 1$, $\lceil -0,3 \rceil = 0$, $\lceil -5,8 \rceil = -5$.

Свойства функции ceil

Так как функция «потолок» является парной функцией, каждое свойство функции «целая часть» (floor) имеет аналог для функции ceil. Свойства $\lceil...\rceil$ перечислены ниже.

Свойство 1^c. Для $n = \lceil a \rceil$ необходимо и достаточно, чтобы $n$ было целым числом и удовлетворяло неравенству: $n-1 \lt a \leqslant n$.
По-другому $\lceil a \rceil-1 \lt a \leqslant \lceil a \rceil$,   откуда   $0\ \leqslant \lceil a \rceil - a \lt 1$,   а также   $a \leqslant \lceil a \rceil \lt a+1 $

Свойство 2^c. $a=\lceil a \rceil$ тогда и только тогда, когда $a$ — целое число.

Свойство 2a^c. $\lfloor a \rfloor \leqslant a \leqslant \lceil a \rceil $, причем неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда $a$ — целое число.

Свойство 3а^c. Если $m$ — целое число и $m\;\geqslant\;a$, то $m\;\geqslant\;\lceil a \rceil$.

Свойство 3b^c. Если $m$ — целое число и $m \lt a$, то $m \leqslant \lceil a \rceil-1$.

Свойство 4^c. Если $a \geqslant b$, то $\lceil a \rceil \geqslant \lceil b \rceil$.

Поменяв местами $a$  и  $b$, затем прочтя каждое неравенство справа налево получим: если $a \leqslant b$, то $\lceil a \rceil \leqslant \lceil b \rceil$, поэтому функция $\lceil x \rceil$ также является монотонно-неубывающей.

Свойство 5^c. Если $m$ — целое число, to $\lceil m + a \rceil = m + \lceil a \rceil $.

Свойство 6^c. $\lceil a_1 \rceil + \lceil a_2 \rceil + ... + \lceil a_n \rceil - n\;+\;1 \leqslant \lceil a_1 + a_2 + ... + a_n \rceil \leqslant \lceil a_1 \rceil + \lceil a_2 \rceil + ... + \lceil a_n \rceil $ .

Свойство 6а^c. $\lceil a \rceil + \lceil b \rceil - 1 \leqslant \lceil a + b \rceil \leqslant \lceil a \rceil + \lceil b \rceil $

Свойство 6b^c. $n (\lceil a \rceil - 1) + 1 \leqslant \lceil na \rceil \leqslant n \lceil a \rceil $

График функции ceil

Функция $y = \lceil x \rceil$ также является ступенчатой. Ее график можно получить из графика функции $y = \lfloor x \rfloor$,если исключить левые концы отрезков, добавив вместо них правые концы, после чего сдвинуть график на единицу вверх.

График функции $y=\lceil x \rceil$

Дробная часть числа

Согласно определению, дробной частью вещественного числа называется разница между числом и его целой частью, то есть $\{a\}=a-\lfloor a \rfloor$, где фигурные скобки $\{..\}$ используются для обозначения дробной части.

Примеры: $\{5\}=0$, $\{5,8\}=0,8$, $\{0,3\}=0,3$, $\{-0,3\}=0.7$, $\{-5,8\}=0.2$. Хотя для отрицательных чисел дробная часть возможно не совсем то, что следует из «здравого смысла», это вполне согласуется с определением целой части.

Свойства дробной части

Свойство 1^f. $\gamma = \{a\}$ тогда и только тогда, когда $(a-\gamma)$ — целое число и $0 \leqslant \gamma \lt 1$.

Если $\gamma = \{a\}$, то $(a-\gamma) = \lfloor a \rfloor = n$ - целое число. Кроме того, согласно свойству 1 (необходимость),  $n \leqslant a \lt n + 1$, откуда, вычитая $n$, получаем  $0 \leqslant a - n \lt 1$, или $0 \leqslant \gamma \lt 1$.

Наоборот, если $a-\gamma = n$ — целое число и $0 \leqslant \gamma \lt 1$, то прибавив $n$ получим $n \leqslant a \lt n+1$, откуда из свойства 1 (достаточность) $n = \lfloor a \rfloor$, следовательно $\gamma = a-n = \{a\}$.

Отсюда следует, что нуль — единственно возможное целое значение дробной части.

Свойство 2^f. $\{a\}=0$ тогда и только тогда, когда $a$ — целое число.

В самом деле $\{a\}=0$ эквивалентно $\lfloor a \rfloor = a$, что согласно свойству 2 имеет место тогда и только тогда, когда когда $a$ — целое число.

Свойство 3^f. Функция $\{x\}$ является периодической с наименьшим положительным периодом равным единице.

Если $m$ — целое число, то согласно свойству 5, $$ \{m+x\} = (m+x) - \lfloor m+x\rfloor = (m+x)-(m+\lfloor x\rfloor) = x - \lfloor x\rfloor = \{x\}, $$ следовательно, любое целое число (в том числе единица) является периодом функции $\{x\}$.

С другой стороны, если $r$ — положительное число, меньшее 1, то $\lfloor r \rfloor = 0$, откуда $\{r\} = r > 0$. Таким образом $\{0+r\} \ne \{0\}$, поэтому $r$ не может быть периодом функции $\{x\}$.

Свойство 4^f. Дробная часть суммы равна дробной части суммы дробных частей: $ \{a_1 + a_2 + ... + a_n\} = \left \{ \{a_1\} + \{a_2\} + ... + \{a_n\} \right \}$.

Сложив равенства $a_i = \lfloor a_i \rfloor + \{a_i\}$ для всех $i$ от 1 по $n$, получаем: $a_1 + a_2 + ... + a_n = P + Q$, где $P=\lfloor a_1 \rfloor + \lfloor a_2 \rfloor + ... \lfloor a_n \rfloor$ — целое число, a $Q = \{a_1\} + \{a_2\} + ... + \{a_n\}$. Отсюда, в силу периодичности дробной части, $\{a_1 + a_2 + ... + a_n\} = \{Q\} = \left \{ \{a_1\} + \{a_2\} + ... + \{a_n\} \right \}$, что и требовалось доказать.

Следствие. Полагая $a_1 = a_2 = ... = a_n = a$,  получаем:   $\{na\}=\{n\{a\}\}$.

График функции $\{x\}$

График функции $y = \{ x \}$ нетрудно построить, учитывая периодичность функции, а также $\{x\}=x$ при $0\leqslant x \lt 1$. Он также состоит из отрезков, включая их левые концы.

График функции $y=\{ x \}$

ЗАДАЧИ

Вертикальные линии $|...|$ используются для обозначения абсолютной величины.

Часть 1

1.1 Доказать что для равенства целых частей двух чисел, необходимо, чтобы разность этих чисел была меньше единицы: из $\lfloor a \rfloor = \lfloor b \rfloor$ (а также из $\lceil a \rceil = \lceil b \rceil$) следует $|a-b|\lt 1$. Является это условие достаточным?

1.2Как вы заметили, $\lfloor -a \rfloor = - \lfloor a \rfloor$ лишь тогда, когда $a$ - целое число. Исправьте правую часть этого равенства, чтобы оно имело место при любых $a$.

1.3Постройте графики функций $\lfloor |x| \rfloor$ и $|\lfloor x \rfloor|$. В каких случаях эти значения равны между собой?

1.4Доказать, что если $n$ — целое число, то   $\left\lfloor \dfrac{\lfloor a \rfloor}{n} \right \rfloor = \left \lfloor \dfrac{a}{n} \right \rfloor $.

1.5Выразить $\{-a\}$ через $\{a\}$.

1.6Обозначим через $\lfloor a \rceil$ — ближайшее целое число, то есть число, полученное по обычным правилам округления (например $\lfloor 0,8 \rceil=\lfloor 1,3 \rceil=1$,  $\lfloor -0,8 \rceil=\lfloor -1,3 \rceil=-1$). При этом, числа вида $n+\frac{1}{2}$, где $n$ — целое («точные половины») округляются до ближайшего четного числа (например $\lfloor 0,5 \rceil=\lfloor -0,5 \rceil=0$,  $\lfloor 1,5 \rceil=\lfloor 2,5 \rceil=2$,  $\lfloor -1,5 \rceil=\lfloor -2,5 \rceil=-2$).

    а) Доказать, что функция $y = \lfloor x \rceil$ — нечетна (то есть $\lfloor -x \rceil\ = -\lfloor x \rceil)$;
    b) Построить график функции.

1.7Обозначим через $\{\{a\}\}$ расстояние от $a$ до ближайшего целого числа: $\{\{a\}\} = |a-\lfloor a \rceil|$,  где  $\lfloor a \rceil$ — величина, определенная в предыдущей задаче. Например, $\{\{3,2\}\}=\{\{4,8\}\}=\{\{-4,8\}\}=0,2$.

   Доказать, что:
    a) $\{\{a\}\}=\left| \left\{ a+\dfrac{1}{2} \right\} - \dfrac{1}{2} \right |$;
    b) функция $\{\{x\}\}$ непрерывна;
    c) функция $\{\{x\}\}$ четна (то есть $\{\{-x\}\}=\{\{x\}\}$).

   Построить график функции $\{\{x\}\}$.

1.8Жидкость налита в бутыли вместимостью 40л, при этом одна из бутылей оказалась неполной. Если тот же объем жидкости перелить в бутыли вместимостью 50л, все они будут заполнены, причем понадобится на 5 бутылей меньше. Если использовать бутыли вместимостью 70л, то понадобится еще меньше на 4 бутыли, но опять одна бутыль будет неполной. Определить объем жидкости.

1.9Указать на координатной плоскости множество пар точек $(x,y)$, таких что:
    a) $\lfloor x \rfloor = \lfloor y \rfloor$;
    b) $\{ x \} = \{y \};$
    c) $\lfloor x + y \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$.

1.10Найти значения интегралов: a)$\int_{0}^{x}{\lfloor t \rfloor}\;dt$; b) $\int_{0}^{x}{\lceil t \rceil}\;dt$; c)$\int_{0}^{x}{\{t \}}\;dt$. Построить графики.

Решения задач части 1.

Часть 2

Стандартный способ решения уравнений, содержащих целую часть, сводится к приведению уравнения к системе неравенств. Эта часть демонстрирует такой подход. Возможен также графический метод, примеры которого даны в решениях задач 2.1 - 2.4.

Решить уравнения:

2.1$\left \lfloor \dfrac{x-1}{3} \right \rfloor = x + 5$

2.2$\left \lfloor \dfrac{2x-3}{5} \right \rfloor = \dfrac{3x+2}{11}$

2.3$\left \lfloor \dfrac{x-3}{2} \right \rfloor = \left \lfloor \dfrac{x-2}{3} \right \rfloor$

2.4$x^2 - 10\lfloor x \rfloor + 9 = 0$

2.5$x^4 - 2x^2 - \lfloor x \rfloor = 0$

2.6$x^3 - \lfloor x \rfloor - 7 = 0$

2.7$1-|x+1| = \dfrac{\lfloor x \rfloor - x}{|x-1|}$

Решения задач части 2.

Часть 3

Для задач этой части стандартные методы не работают, а если даже и применимы, то требуют определенной изобретательности.

Решить уравнения:

3.1$\left\lfloor \dfrac{2x-1}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{4x+1}{6} \right\rfloor = \dfrac{5x-4}{3}$

3.2$|\sin x + \cos x| = 5 - 4\lfloor x \rfloor$

3.3a) $\left\{ x + \dfrac{1}{x} \right\} = \{x\} + \dfrac{1}{\{x\}}$;
   b) $\left\lfloor x + \dfrac{1}{x} \right\rfloor = \lfloor x \rfloor + \dfrac{1}{\lfloor x \rfloor}$

3.4$\lfloor x \rfloor + \dfrac{1}{\lfloor x \rfloor} = \{x\} + \dfrac{1}{\{x\}}$

3.5$x^2+\{x\}^2=50$

3.6$\{(x+1)^3\} = x^3$

3.7$\lfloor x^3 \rfloor - 3\lfloor x \rfloor^2 + 3\lfloor x \rfloor = \{x\} + 2$

3.8Решить систему уравнений:
$\qquad\qquad \left \{ \begin{matrix} x + \lfloor y \rfloor + \{z\} = 1,1 \\ y + \lfloor z \rfloor + \{x\} = 2,2 \\ z + \lfloor x \rfloor + \{y\} = 3,3 \end{matrix} \right . $

3.9Сколько целых чисел $n$, удовлетворяющих условию
$\displaystyle \qquad\qquad \left\lfloor\sqrt{\left\lceil\sqrt{n}\,\right\rceil}\right\rfloor = \left\lceil\sqrt{\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor}\,\right\rceil $
   существует в диапазоне от 1 до 10000 включительно?

Решения задач части 3.

Часть 4

Целая и дробные части всегда были излюбленным способом бросить вызов участникам различных математических олимпиад, заставляя проявить чудеса находчивости в короткое время. У вас однако времени предостаточно, поэтому не спешите заглядывать в ответы.

4.1 Решить систему уравнений:
$\qquad\qquad \left \{ \begin{matrix} x^2 + \lfloor y \rfloor = 10 \\ y^2 + \lfloor x \rfloor = 13 \end{matrix} \right . $

4.2Решить уравнение в целых положительных числах:
$\qquad\qquad\lfloor\sqrt[3]{1}\rfloor + \lfloor\sqrt[3]{2}\rfloor + ... + \lfloor\sqrt[3]{x^3-1}\rfloor = 400$

4.3Доказать что для целого положительного  $n$
$\qquad\qquad\left\{\sqrt{1}\right\} + \left\{\sqrt{2}\right\} + ... + \left\{\sqrt{n^2}\right\} \leqslant \dfrac{n^2-1}{2}$,
   причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда  $n=1$.

4.4Доказать, что если $p$ и $q$ — взаимно-простые числа, то:
$\qquad\qquad\left\lfloor \dfrac{p}{q} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{2p}{q} \right\rfloor ... \left\lfloor \dfrac{(q-1)p}{q} \right\rfloor = \dfrac{(p-1)(q-1)}{2}$

4.5Доказать, что для целого положительного $n$:
$\qquad\qquad\lfloor x \rfloor + \left\lfloor x+\dfrac{1}{n} \right\rfloor ... \left\lfloor x+\dfrac{n-1}{n} \right\rfloor = \lfloor nx \rfloor $

4.6Для целого неотрицательного $n$ и целого положительного $k$ доказать тождество:
$\qquad\qquad\left\lfloor \dfrac{n}{k}\right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{n+1}{k}\right\rfloor + \dots + \left\lfloor \dfrac{n+k-1}{k}\right\rfloor = n$

4.7Доказать тождество для целого неотрицательного $n$:
$\qquad\qquad \lfloor \sqrt{n} + \sqrt{n+1} \rfloor = \lfloor \sqrt{4n+2} \rfloor$

4.8Доказать, что уравнение:
$\qquad\qquad\lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 4x \rfloor + \lfloor 8x \rfloor + \lfloor 16x \rfloor + \lfloor 32x \rfloor = 12345$
   не имеет решений.

Решения задач части 4.

 

Описание и условия задач

Решения задач части 1

Решения задач части 2

Решения задач части 3

Решения задач части 4