| Описание и условия задач |
Решения задач части 1 |
Решения задач части 2 |
Решения задач части 3 |
Решения задач части 4 |
1.1Докажите, что если $|x|\lt 1$, $|y| \lt 1$, то $\left|\dfrac{x-y}{1-xy}\right| \lt 1$.
XV московская олимпиада, 1952 год, 1-й тур, 9 класс.
Неравенство, которое следует доказать, равносильно следующему: $$ -1 \lt \frac{x-y}{1-xy} \lt 1 \label{eq:1.1.1}\tag{1.1.1} $$
Перемножая неравенства $|x| \lt 1$ и $|y| \lt 1$ (это оправдано, ввиду неотрицательности чисел), получаем: $|xy| \lt 1$, откуда $1-xy \gt 1$, что позволяет умножить все части неравенства $\eqref{eq:1.1.1}$ на $(1-xy)$. Получаем: $$ xy-1 \lt x-y \lt 1-xy \label{eq:1.1.2}\tag{1.1.2} $$
Двойное неравенство $\eqref{eq:1.1.2}$ равносильно системе двух неравенств: $$ \begin{cases} x-y-xy+1 \gt 0 \\ x-y+xy-1 \lt 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} (x+1)(1-y) \gt 0 \\ (x-1)(y+1) \lt 0 \end{cases} \label{eq:1.1.3}\tag{1.1.3} $$
Из $|x| \lt 1$ получаем: $-1 \lt x \lt 1$, откуда $$ x + 1 \gt 0, \qquad x - 1 \lt 0 \label{eq:1.1.4}\tag{1.1.4} $$
Аналогично из $|y| \lt 1$ следует: $$ 1 - y \gt 0, \qquad y + 1 \gt 0 \label{eq:1.1.4a}\tag{1.1.4a} $$
Неравенства системы $\eqref{eq:1.1.3}$ вытекают непосредственно из $\eqref{eq:1.1.4}$ и $\eqref{eq:1.1.4a}$. Затем, проводя рассуждения в обратно порядки приходим к требуемому неравенству.
1.2 Даны три приведённых (коэффициент при $x^2$ равен 1) квадратных трехчлена: $P_1(x)$, $P_2(x)$ и $P_3(x)$. Докажите, что уравнение $|P_1(x)| + |P_2(x)| = |P_3(x)|$ имеет не более восьми корней.
Всероссийская олимпиада, 1994 год.
Каждая абсолютная величина может раскрываться либо с плюсом, либо с минусом давая до $2^3=8$ возможных квадратных трехчленов вида $\pm P_1(x)\pm P_2(x) \pm P_3(x)$ (знаки $\pm$ являются независимыми). (Трехчленов будет меньше, если после приведения подобных коэффициенты разных многочленов совпадут.)
Полученные уравнения можно объединить в пары вида $(R_i, S_i)$ так что $S_i = -R_i$, например, многочлен $P_1(x)-P_2(x)+P_3(x)$ образует пару с многочленом $-P_1(x)+P_2(x)-P_3(x)$. Количество таких пар не более четырех, причем корни квадратных трехчленов, принадлежащих одно и той же паре совпадают. Таким образом каждая пара дает не более двух корней, так что общее количество корней не более восьми.
Так как каждый трехчлен приведенный, а их количество нечетно, то старший коэффициент каждого из суммарных трехчленов $\pm P_1(x)\pm P_2(x) \pm P_3(x)$ отличен он нуля, так что все они действительно квадратные. Однако на верхнюю оценку количества корней это замечание никак не влияет, поэтому условие о том, что все заданные трехчлены — приведенные представляется лишним.
1.3Какие из нижеследующих функций вещественного переменного $x$ являются неограниченными:
a) $2^{-|x|}$, b) $\dfrac{|x|}{x}$, c) $\lg|sin\,x|$ d) $\left|\dfrac{sin(2x) - sin\,6}{x-3}\right|$
a) Из $|x| \geqslant 0$ следует $2^{-|x|} \leqslant 1$, поэтому функция является ограниченной.
b) Функция определена при $x \ne 0$, при этом $\frac{|x|}{x} = sgn\,x \leqslant 1$. Таким образом функция также ограничена.
c) Функция определена при $x \ne 0$. Подстановка $t=|sin\,x|$ дает: $\lim\limits_{x \to 0} \lg|sin\,x| = \lim\limits_{t \to +0}\lg\,t = -\infty$, поэтому функция неограничена.
d) Функция определена при $x \ne 3$. В этом случае, учитывая $\left|\dfrac{sin\,t}{t}\right| \lt 1$ при $t \ne 0$: $$ \left|\frac{sin(2x) - sin(6)}{x-3}\right| = 2 \left|\frac{sin(x-3)\,cos(x+3)}{x-3}\right| = 2 \left|\frac{sin(x-3)}{x-3}\right| \cdot |cos(x+3)| \lt 2 $$ откуда следует ограниченность функции.
Ответ: неограниченной является функция c).
1.4 Найти первообразную функции $y=|x|$ ($x$ - вещественный аргумент). Построить график функции $y=\int\limits_0^x{|t|dt}$.
Первый способ. Рассмотрим отдельно положительные и отрицательные значения аргумента $$\begin{aligned} x \gt 0: \qquad & \int{|x|dx} = \int{x\;dx} = \frac{1}{2}x^2 + C \\ x \lt 0: \qquad & \int{|x|dx} = -\int{x\;dx} = - \frac{1}{2}x^2 + C \end{aligned} $$
Заметим, что при $x=0$ оба выражения для первообразной обращаются в нуль, что позволяет до-определить первообразную в нуле, полагая ее равной нулю.
Полученные равенства можно объединить, используя функцию $sgn(x)$, определяемую из (1.1.8) $$\begin{aligned} \int{|x|\,dx} = \frac{1}{2}x^2\,sgn(x) + C \end{aligned} $$ или, используя тождество $|x|=x\,sgn(x)$, $$\begin{aligned} \int{|x|\,dx} = \frac{1}{2}x\,|x| + C \end{aligned} $$
Второй способ. Покажем, как вычислить первообразную без разбиения на промежутки.
Вспомним, что $|x| = x\,sgn(x)$, а кроме того $|x|$ является первообразной от $sgn(x)$. Обозначая искомый интеграл через $I$ и используя интегрирование по частям (by parts также par parties), получаем: $$ I = \int{x\,sgn(x)\,dx} = \int{x\,d|x|} = x\,|x| - \int{|x|\,dx} = x\,|x| - I $$
Решая относительно $I$, получаем $$ I = \frac{1}{2} x\,|x| + C = \frac{1}{2} x^2 sgn(x) + C $$
Таким образом $\int\limits_0^x{|t|dt} = \frac{1}{2}\,x^2\,sgn(x)$.
В отличие от функции $y=\frac{1}{2}\,x^2$, функция $y=\frac{1}{2}\,x^2\,sgn(x)$ монотонно возрастает на всей числовой оси. Для построения ее графика строим график функции $y=\frac{1}{2}\,x^2$ в первом квадранте и дополняем его графиком, симметричным построенному относительно начала координат.
1.5 Верно ли равенство $|\sqrt[n]{z}| = \sqrt[n]{|z|}$ для комплексных чисел?
Неверно, так как знак радикала не используется применительно к комплексным числам, учитывая, что каждое комплексное число, отличное от нуля, имеет $n$ комплексных корней $n$-й степени.
Однако, если отказаться от педантизма и рассмотреть вопрос по существу, можно обнаружить следующее:
Пусть $z$ и $\zeta$ — комплексные числа. Если $\zeta^n = z$, то $|\zeta| = \sqrt[n]{|z|}$.
В самом деле, из (2.3.3a) следует: $|\zeta^n| = |\zeta|^n$, или $|z| = |\zeta|^n$, причем $|z|$ и $|\zeta|$ — неотрицательные числа, что оправдывает извлечение корня: $|\zeta| = \sqrt[n]{|z|}$.
Между прочим, корни n-i степени положительного $r$ определяются формулой: $\displaystyle{\sqrt[n]{r}\left(cos \frac{2\pi k}{n} + i\,sin \frac{2\pi k}{n}\right)}$, $k=0,1 \dots (n-1)$.
1.6 $z_1$ и $z_2$ — комплексные числа. Докажите, что $|z_1-z_2|$ является расстоянием между точками комплексной плоскости, соответствующими этим числам.
Первый способ. Пусть $(x_1, y_1)$ и ($x_2, y_2)$ — координаты точек комплексной плоскости, соответствующих числам $z_1$ и $z_2$. Тогда $$ z_1 = x_1 + y_1i \\ z_2 = x_2 + y_2i $$
Отсюда $$ z_1-z_2 = (x_1 - x_2) + (y_1-y_2)i $$
Согласно определению модуля: $$ |z_1-z_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} $$
Выражение в правой части есть известная формула расстояния между точками $(x_1, y_1)$ и ($x_2, y_2)$
Второй способ. Пусть $А$ и $B$ — точки комплексной плоскости, соответствующие числам $z_1$ и $z_2$. Проведем радиус-векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ к этим точкам. Разности чисел $z_1 - z_2$ соответствует разность векторов $\vec{OA}-\vec{OB}=\vec{BA}$, при этом модуль разности есть длина вектора $\vec{BA}$, то есть расстояние между точками $A$ и $B$.
1.7 $z_1$ и $z_2$ — комплексные числа. Известно, что $|z_1+z_2| = 10$, $|z_1-z_2| = 4$, $|z_1| = 6$. Найти $|z_2|$.
Пользуясь равенством параллелограмма (2.3.11) находим $$ 2|z_2|^2 = |z_1+z_2|^2 + |z_1-z_2|^2 - 2|z_1|^2 = 10^2 + 4^2 - 2\cdot 6^2 = 44 $$
Откуда $|z_2| = \sqrt{22}$.
1.8 M - множество комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству $|z+3+4i| \leqslant 6$.
a) Найти минимальное и максимальное значение |z| на этом множестве;
b) Найти числа, соответствующие минимальному и максимальному значению |z|
c) Найти минимальную величину $|z-2-8i|$ для $z \in M$, и соответствующее значение $z$
a) Данное неравенство можно записать как $$ |z-(-3-4i)| \leqslant 6 $$ поэтому множеству $M$ на комплексной плоскости соответствует круг с центром в точке $A(-3,-4)$ и радиусом 6.
Проведем диаметр OA через начало координат, пересекающий окружность в точках $C$ и $D$, причем точки $C$ и начало координат $O$ находятся по одну сторону от центра $A$. Тогда точкам $C$ и $D$ соответствуют минимум и максимум $z$. Обозначим соответствующие им комплексные числа через $c$ и $d$.
Находим расстояние $|AO|$: $|AO| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. Отсюда $$ |c| = |AC| - |AO| = 6 - 5 = 1, \qquad |d| = |AD| + |AO| = 6+5 = 11 $$
b) Для вычисления значений чисел $c$ и $d$ проведем прямые $AF$ параллельную действительной оси и $CF$, параллельную мнимой оси; $F$ — точка пресечения прямых, $E$ — точка пресечения прямой $AF$ с мнимой осью. Из подобия треугольников AOE и ACF следует: $$ \frac{|AE|}{|AF|} = \frac{|OE|}{|CF|} = \frac{|AO|}{|AC|} = \frac{5}{6} $$
Отсюда $$ \begin{array}{l} |AF| = \frac{6}{5} \cdot |AE| = \frac{6}{5} \cdot 3 = 3,6 \\ |CF| = \frac{6}{6} \cdot |OE| = \frac{6}{5} \cdot 4 = 4,8 \end{array} $$
Таким образом, координаты точки $C$ равны (0,6, 0,8). Точка $D$ симметрична $C$ относительно центра $A$. Отсюда находим ее координаты: $$ 0,6 - 2\cdot 3,6 = -6,6 \quad \text{и} \quad 0,8 - 2\cdot 4,8 = -8,8 $$
Итак, $c=0,6+0,8i$, $d=-6,6-8,8i$.
c) Пусть $b=2+8i$, B – соответствующая точка комплексной плоскости. Требуется найти расстояние от $B$ до ближайшей точки круга, соответствующего множеству $M$. Такая точка $P$ лежит на пересечении отрезка $AB$ с окружностью.
Находим расстояние от точки $B$ до центра круга: $$ |AB| = \sqrt{[2-(-3)]^2 + [8-(-4)]^2} = \sqrt{25+144} = 13 $$
Таким образом искомое расстояние $|BP| = |AB|-|AP| = 13-6 = 7$.
Вычислим величину числа $p$, соответствующего точке $P$. Для этого проведем прямые $BS$ и $PQ$, параллельные мнимой оси, а также прямую $AS$, параллельную действительной оси. $S$ и $Q$ — точки пресечения прямой $AS$ с прямыми $BS$ и $PQ$. Из подобия треугольников APQ и ABS находим: $$ \frac{|AQ|}{|AS|} = \frac{|PQ|}{|BS|} = \frac{|AP|}{|AB|} = \frac{6}{13} $$
откуда $$ \begin{array}{l} |AQ| = \frac{6}{13} \cdot |AS| = \frac{6}{13} \cdot 5 = 2 \frac{4}{13} \\ |PQ| = \frac{6}{13} \cdot |BS| = \frac{6}{13} \cdot 12 = 5 \frac{7}{13} \end{array} $$
Отсюда находим координаты точки $P$: $$ -3 + 2 \frac{4}{13} = -\frac{9}{13} \quad \text{и} \quad -4 + 5 \frac{7}{13} = 1 \frac{7}{13} $$
Таким образом, $p = -\frac{9}{13} + 1 \frac{7}{13}i$.
1.9Разность $\sqrt{|12\sqrt{5}-29|} - \sqrt{12\sqrt{5}+29}$ является целым числом. Найти это число.
Мехмат МГУ, 1978г.
Выражение под вторым радикалом заведомо положительно. Выражение под первым радикалом также положительно, однако содержит знак абсолютной величины, от которого так и хочется избавиться. Для этого следует сравнить положительные числа $12\sqrt{5}$ и $29$, что проще всего сделать возведением в квадрат: $$ (12\sqrt{5})^2 = 144 \cdot 5 = 720 \\ 29^2 = 29 \cdot 29 = 841 $$
Поскольку функция $y=\sqrt{x}$ монотонно возрастающая, из $(12\sqrt{5})^2 \lt 29^2$ следует $12\sqrt{5} \lt 29$, так что $|12\sqrt{5}-29| = 29-12\sqrt{5}$, поэтому исходное выражение можно переписать в виде: $$ y = \sqrt{29- 12\sqrt{5}} - \sqrt{29 + 12\sqrt{5}} $$
Возводим в квадрат: $$ \begin{align} y^2 & = (29-12\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{(29-12\sqrt{5})(29+12\sqrt{5})} + (29+12\sqrt{5})^2 \\ & = 29-12\sqrt{5} - 2 \sqrt{29^2 - (12\sqrt{5})^2} + 29 + 12\sqrt{5} \\ & = 29 + 29 - 2 \sqrt{841-720} = 58 - 2 \cdot 11 = 36 \end{align} $$ откуда $|y| = 6$.
Осталось определить знак $y$. Снова воспользуясь монотонностью квадратного корня, заметим, что из $29-12\sqrt{5} \lt 29+12\sqrt{5}$ следует $\sqrt{29-12\sqrt{5}} \lt \sqrt{29+12\sqrt{5}}$, так что $y$ отрицательно.
Ответ: -6.
| Описание и условия задач |
Решения задач части 1 |
Решения задач части 2 |
Решения задач части 3 |
Решения задач части 4 |
Комментариев нет:
Отправить комментарий