Об абсолютной величине, также известной, как «модуль». Решения части 3.

Описание и условия задач

Решения задач части 1

Решения задач части 2

Решения задач части 3

Решения задач части 4

 

3.1Построить график функции $y=|\sqrt{|x+2|}-1|$

Построение состоит из следующих этапов

1. $y=\sqrt{|x|}$. Строим график функции $y=\sqrt{x}$ (он расположен только в первом квадранте), и дополняем его собственным отражением относительно оси ординат.
2. $y=\sqrt{|x+2|}$. Сдвигаем построенный график на 2 единицы влево.
3. $y=\sqrt{|x+2|}-1$. Сдвигаем построенный график на 2 единицы влево.
4. $y=|\sqrt{|x+2|}-1|$. Заменяем часть графика, лежащей в нижней полуплоскости ее отражением относительно оси абсцисс.

1.   $\sqrt{|x|}$		2.   $\sqrt{|x|} \quad \rightarrow \quad \sqrt{|x+2|}$
3.   $\sqrt{|x+2|} \quad \rightarrow \quad \sqrt{|x+2|}-1$		4.   $\sqrt{|x+2|}-1 \quad \rightarrow \quad |\sqrt{|x+2|}-1|$

 

3.2Построить график функции $y=\frac{|x+2|}{|x-1|}$

В данном случае уравнение функции следует подготовить: $$ y = \left| \dfrac{x+2}{x+1} \right| = \left| 1 + \dfrac{1}{x+1} \right| $$

Теперь понятно, что требуется построить график функции $y=\frac{1}{x}$ (это гипербола), сдвинуть на единицу влево и единицу вверх, а затем зеркально отразить его часть в нижней полуплоскости относительно оси абсцисс.

 

3.3Построить график функции $y=|2x+1|-|x+5|+|x+1|-|2x-5|$

Так как аргумент $x$ всюду находится в первой степени, график состоит из отрезков между точками излома и полупрямых по краям.

Выпишем точки излома в порядке возрастания: $-5$, $-1$, $-0,5$, $2,5$. Находим значения функции в точках излома: $$ \begin{array}{l} f(-5) = 11 + 0 + 6 - 15 = -2 \\ f(-1) = 1 - 4 + 0 - 7 = -10 \\ f(-0,5) = 0 - 4,5 + 0,5 - 6 = -10 \\ f(2,5) = 6 - 7,5 + 3.5 - 0 = 2 \end{array} $$

Для построения графика в крайних полуинтервалах $(-\infty, -5]$ и $[2,5, \; +\infty)$ выберем по одной точке в каждом интервале и вычислим значения функции в этих точках: $$ \begin{array}{l} f(-7) = 13 - 2 + 6 - 19 = -2 \\ f(4) = 9 - 9 + 5 - 3 = 2 \end{array} $$

График функции показан на чертеже. Как видим, функция постоянна в промежутках $(-\infty, \; -5]$, $[-1, \; -0,5]$ и $[2,5, \; +\infty)$

 

3.4Построить график функции $y=x^2-5|x-1|+5$

Воспользуемся методом интервалов.

Полагая $x \geqslant 1$ находим: $f(x) = x^2-5x+10$. Дискриминант функции равен $25-50=-15\lt 0$, функция положительна на всей числовой оси, координаты вершины $(\frac{5}{2}, \frac{15}{4})$, ось симметрии $x=\frac{5}{2}=2,5$. При $x=0$ находим $y=10$. Такое же значение имеет функция в симметричной точке с $x=5$. В точке излома $x=1$, $y=6$. Строим график и выбираем его часть, с $x \geqslant 1$.

При $x \lt 1$ получаем $f(x)=x^2+5x$. Функция имеет нули при $x=0$ и $x=-5$, координаты вершины: $(-\frac{5}{2}, -\frac{25}{4})$. В точке излома $x=1$, $y=6$, совпадение значений в точке излома согласуется с непрерывностью функции. Строим график и выбираем его часть, с $x \lt 1$.

В результате получаем следующее:

3.5Построить множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству $|y+1|+|x-4| \lt x$.

Перепишем заданное неравенство в виде: $$ |y+1| \lt x-|x-4| \label{eq:3.5.1}\tag{3.5.1} $$

Для существования решения правая часть должна быть положительной. Таким образом: $$ |x-4| \lt x \quad \Leftrightarrow \quad -x \lt x-4 \lt x \quad \Leftrightarrow \quad -2x \lt -4 \lt 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \gt 2 $$

Таким образом неравенство имеет решение при $x \gt 2$.

Введя обозначение $f(x)=x-|x-4|$, неравенство $\eqref{eq:3.5.1}$ можно переписать в виде: $$ -f(x) \lt y+1 \lt f(x) $$ или $$ -f(x)-1 \lt y \lt f(x)-1 $$

Отсюда вытекает следующий план действия:

1. Строим график функции $f(x)=x-|x-4|$ на полуинтервале $[2, +\infty)$
2. Зеркально отображаем построенный график относительно оси абсцисс, что дает график функции $-f(x)$
3. Сдвигаем оба графика на единицу вниз. Искомое множество располагается между графиками, исключая линии графиков.

Для построения графика функции $f(x)$ рассмотрим два промежутка для $x$:
$$ \begin{array}{l} x \in (2,4): \quad f(x) = x + x - 4 = 2x-4 \\ x \in [4, +\infty): \quad f(x) = x -x + 4 = 4 \end{array} $$

Находим значения функции в особых точках: $f(2)=0$, $f(4)=4$, значение для $x=4$ согласуется с непрерывностью функции $f(x)$.

Построение множества точек приведено на чертеже.

 

3.6Построить множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству $x^2+y^2+x|x|+y|y| \gt 8$.

Применим метод интервалов и рассмотрим вид неравенства в каждом квадранте:

Квадрант	Интервалы $x$ и $y$	Неравенство
I	$\begin{cases} x \geqslant 0 \\ y \geqslant 0 \end{cases}$	$x^2+y^2 \gt 4$ внешность окружности радиуса 2
II	$\begin{cases}x \lt 0 \\ y \geqslant 0\end{cases}$	$y^2 \gt 4\quad\Leftrightarrow\quad y\gt 2 $ выше прямой $y=2$
III	$\begin{cases}x \lt 0 \\y \lt 0\end{cases}$	$0 \gt 8$ невозможно
IV	$\begin{cases}x \geqslant 0 \\y \lt 0\end{cases}$	$x^2 \gt 4\quad\Leftrightarrow\quad x\gt 2$ правее прямой $x=2$

Искомое множество точек показано на чертеже.

 

3.7Решить уравнение в области комплексных чисел: $|z-2+3i| = |4+i\sqrt{3}|$.

Правая часть является константой. Вычислим ее:

$$ |4+i\sqrt{3}| = \sqrt{4^2+3^2} = 5 $$

Таким образом заданное уравнение переписывается в виде $$ |z-(2-3i)| = 5 $$ и его можно сформулировать следующим образом: «найти множество точек комплексной плоскости, расстояние от которых до точки, соответствующей числу $2-3i$ равно 5. Таким множеством является окружность с радиуса 5 с центром в точке $(2,-3)$

3.8Решить неравенство в области комплексных чисел: $||z-2|-(7+4i)| \leqslant 5$.

Число под внешним знаком модуля можно представить в виде $$ A = (|z-2|-7) - 4i $$

Так как $|z-2|$ — вещественное число, действительной частью $А$ является $|z-2|-7$, тогда как $(-4)$ является его мнимой частью. Таким образом: $$ |A| = \sqrt{(|z-2|-7)^2+16} $$ что позволяет переписать заданное неравенство в виде: $$ (|z-2|-7)^2+16 \leqslant 25 $$ откуда $$ ||z-2|-7| \leqslant 3 \quad \Leftrightarrow \quad -3 \leqslant |z-2|-7 \leqslant 3 \quad \Leftrightarrow \\ 4 \leqslant |z-2| \leqslant 10 $$

Искомое множество точек расположено между концентрическими окружностями радиусами 4 и 10 с центром в точке $(2,0)$. Окружности включаются, так как неравенства нестрогие.

3.9Решить уравнение в области комплексных чисел: $z^2-5|z|+6 = 0$.

Запишем уравнение в виде $$ z^2 = 5|z| - 6 $$ откуда следует, что $z^2$ — вещественное число.

Пусть $z=a+bi$. Тогда $$ z^2 = a^2 + 2abi + b^2i^2 = (a^2-b^2) + 2abi $$

Так как мнимая часть $2ab$ равна нулю, хотя бы одно из чисел $a$ и $b$ должно быть нулем, так что $z=a$ или $z=bi$

Если $z=a$, то $z^2 = a^2 = |a|^2$, $|z|=|a|$, Это приводит к уравнению $|a|^2 - 5|a| + 6 = 0$, решая которое находим возможные значения $|a|$: 2 и 3. Таким образом $z_{1,2} = \pm 2$, $z_{3,4} = \pm 3$.

Если $z=bi$, то $z^2 = -b^2 = -|b|^2$, $|z|=|b|$. В этот раз приходим к уравнению $|b|^2 + 5|b| - 6 = 0$, корни которого 1 и (-6). Так как $|b|$ — неотрицательное число, то $|b|=1$, откуда $z_{5,6} = \pm i$.

Ответ: $z_1=2$, $z_2=-2$, $z_3=3$, $z_4=-3$, $z_5=i$, $z_6=-i$. Как видим, в этом случае, несмотря на наличие модуля, уравнение имеет конечное количество решений.

 

Описание и условия задач

Решения задач части 1

Решения задач части 2

Решения задач части 3

Решения задач части 4